Question

【題目】有四種運動周期：

（1）靠近地面的衛星繞行的周期；

（2）物體穿過地球直徑隧道運動中的振動周期；

（3）在場強為的均勻引力場中，擺長為地球半徑為單擺的周期；

（4）在實際的地球引力場中，擺長為無限大的單擺的振動周期.

試證明上述四種周期相等（約84分鐘）.

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】

（1）對于靠近地面的衛星，有

，

所以，.

（2）物體在地球直徑隧道中運動時，在距地心處的受力為

，式中.

顯然，物體做簡諧振動，考慮到，易得

.

（3）在場強為的均勻引力場中，若單擺的擺長為地球半徑，擺動位移時，其回復力由擺線的拉力（大小約為）提供，則回復力的大小為

.

同樣可得.

（4）在實際的地球引力場中，擺長為無限大的單擺，在擺動時，其回復力由指向地心的引力提供，可得回復力的大小為

，所以，.

可見，上述四種情況下的運動周期同為，代入數據可得.

本題中給出的四種背景下的運動周期一樣，看似巧合，實為內洽.

另外，本題所給出的四種基本模型也是極具代表性的，它們從多個角度引導我們求解振動物體的回復力，其方法都具有相應的代表性，都有可能出現在其他的綜合問題中，必須認真分析，熟練運用.