Question

【題目】已知函數f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．
（1）若x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范圍；
（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，
當2＜x＜5時，﹣3＜7﹣2x＜3，

所以﹣3≤f（x）≤3，

∴m≥﹣3；

（2）不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0，

即﹣f（x）≥x2﹣8x+15由（1）可知，

當x≤2時，﹣f（x）≥x2﹣8x+15的解集為空集；

當2＜x＜5時，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，

即x2﹣10x+22≤0，∴ ；

當x≥5時，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，

即x2﹣8x+12≤0，∴5≤x≤6；

綜上，原不等式的解集為 ．

【解析】（1）分零點區間討論，得到分段函數，進而得到f（x）的值域，x∈R，使得f（x）≤m成立，只需m≥﹣3即可，（2）結合（1）中，進行分段討論，解出不等式即可.