Question

【題目】形狀如同通常鉛筆的正六角棱柱，質量為M，密度均勻，其橫截面六邊形邊長為。

試求：

（1）該棱柱體相對于它的中心對稱軸的轉動慣量。

（2）該棱柱體相對于它的某一棱的轉動慣量。

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）這里求的是規則形狀的幾何體關于它的中心對稱軸的轉動慣量。從轉動慣量的定義出發，我們可將棱柱沿截面的徑向均勻分割成個厚度均為、棱長為l的六棱柱薄殼，如圖甲甲所示，確定任意一個這樣的薄殼對中心軸的元轉動慣量，然后求和即可，即。

現在，先給出一矩形薄板關于與板的一條邊平行的軸的轉動慣量。板的尺寸標注如圖乙所示，質量為m，且均勻分布，軸與板的距離為h，沿b邊將板無限切分成n條長、寬的窄條，則有

.

回到先前的六棱柱薄殼元上，由對稱性可知，薄殼元對軸的轉動慣量是，即

，

式中是六棱柱的密度，大小為

.

則六棱柱體對中心對稱軸的轉動慣量

.

（2）.利用平行軸定理，我們可求得六棱柱相對于棱邊的轉動慣量為