Question

【題目】靜止于太空慣性系S的飛船，主體質量為，攜帶的燃料質量為，某時刻發動機點火使飛船開始沿直線方向朝前加速運動，已知單位時間燃燒的燃料質量為，燃料全部生成物的噴射速度（生成物相對飛船的朝后速度）為常量u，在一直到燃料燒盡的全過程中，試求：

（1）飛船加速度的最小值和最大值。

（2）飛船末速度。

（3）初始時刻飛船發動機提供的功率（單位時間燃料在燃燒過程中釋放的內能，即單位時間內系統動能的增量）和全過程時間內的平均功率。

（4）發射效率（飛船最終獲得的動能占發動機釋放的全部燃料內能之比）。

（5）為何值（給出1位有效數字）時，取極大值？

Answer 1

【答案】（1）， （2） （3），。

（4）（5）

【解析】

（1）t時刻飛船（主體與剩余燃料）的質量記為M，速度記為v，經時間燃燒掉燃枓質量-，飛船速度增為。

由動量守恒方程有

（略去二階小量），

得。 ①

將，代入，得

。

又，

即有，時；

，時。

（2）對①式積分得

，

得。

末速度為。

（3）在時間內，

，

系統動能增量為

（略去二階小量），

得。

將代入，得

。

時間內燃料釋放的內能等于系統動能的增量，即得t時刻發動機提供的功率為

。

因為常量，故

，。

（4）據（2）問，飛船最終獲得的動能為

。

釋放的全部燃料內能為

。

所求效率便為

。

（5）將代入上式，得

。

令，得方程

。

該方程的解即對應于的極值，解的數值計算見下表：

	1	2	3	3.5	4	4.5	6
	1	1.33	1.5	1.56	1.6	1.64	1.67
	0.69	1.10	1.39	1.50	1.61	1.70	1.79
	48%	60%	64%	64.6%	65%	64.6%	64%

由此可見，時，。