Question

【題目】已知函數f（x）=|ax﹣b|+|x+c|．
（1）當a=c=3，b=1時，求不等式f（x）≥4的解集；
（2）若a=1，c＞0，b＞0，f（x）min=1，求 + 的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當 a=c=3，b=1 時，f（ x）=|3x﹣1|+|x+3|，∴不 等 式 f（ x）≥4，可 化 為|3x﹣1|+|x+3|≥4，

即 ①，或 ②，或 ③；

解①求得x≤﹣3；解②求得x∈；解③求得x≥ ．

綜上可得，不等式f（x）≥4的解集為{x|x≤﹣3，或x≥ }．

（2）解：當 a=1，c＞0，b＞0 時，f（ x）=|x﹣b|+|x+c|≥|x﹣b﹣（ x+c）|=|b+c|=b+c，

又 f（x）min=1，∴b+c=1，∴ + = + =2+ + ≥2+2 =4，當且僅當b=c時，取等號，

故 + 的 最 小 值 為 4．

【解析】（1）把要解的不等式等價轉化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．（2）利用絕對值三角不等式求得f（x）的解析式，再根據 f（x）min=1，求得b+c=1，再利用基本不等式求得故 + 的 最 小 值．
【考點精析】關于本題考查的絕對值不等式的解法，需要了解含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號才能得出正確答案．