Question

【題目】在一個單擺下面再掛一單擺，即構成雙擺，上、下兩個擺的擺長都是，上、下兩個擺球的質量分別為和，求這樣一個雙擺在同一個平面內做小振幅擺動時的頻率.

Answer 1

【答案】當時，有， ； 當時，有，，

【解析】

做小角度擺動的單擺，根據牛頓第二定律有

，

（表示角加速度）

因為是小角，所以有

.

設上半段線中的張力為，下半段線中的張力為，則兩個振子做小幅振動時的運動方程為

， ①

. ②

由于、都很小，由豎直方向運動的分析可知

，.

代入①②兩式，得

， ③

. ④

由③④式得

. ⑤

令，，

代入③④式或③⑤式，得

，

.

或為

， ⑥

. ⑦

為使、不為零，必須有

.

由此解得雙擺頻率為

，

.

代入⑥⑦式，得對應的；

，

.

下圖即表示這兩種振動模式.

當時，有

，，

，.

當時，有

，，

，.

本題首先給我們的障礙是審題的障礙，圖片呈現給我們的雙擺顯然在做一般的擺動，而題文給出的是小振幅的擺動，但由于圖像對審題者的沖擊是遠大于文字的沖擊的，所以，幾乎所有初次接觸此題的答題者，都忽略了小振幅擺動的條件，以至于無法完成解答.

其次，理解了小振幅擺動后，物理定律的運用并不存在大的難度，但其數學的運算及討論卻并不是一般的水平便能夠完成的，可見，物理競賽的學習，并不說只要掌握了相應的物理規律即可的，它一定要求我們具有較強的處理綜合問題的能力，包括運用數學知識的能力.

最后，由于題圖對我們思考的干擾，我們很可能認為雙擺的形狀應該是單一的，而對數學結論中的兩解不甚明了，或者是一刪了之，從而造成遺憾。

所有這些，都是對我們能力的有效檢測.