Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，點A（0，3），直線l：y=2x﹣4，設圓C的半徑為1，圓心在l上．
（1）若圓心C也在直線y=x﹣3上，過點A作圓C的切線，求切線方程；
（2）若圓C上存在點M，使|MA|=2|MO|，求圓心C的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題設，圓心C在y=x﹣3上，也在直線y=2x﹣4上，2a﹣4=a﹣3，∴a=1，∴C（1，﹣2）．

∴⊙C：（x﹣1）2+（y+2）2=1，

由題，當斜率存在時，過A點切線方程可設為y=kx+3，即kx﹣y+3=0，則 =1，解得：k=﹣ ，

又當斜率不存在時，也與圓相切，∴所求切線為x=0或y=﹣ x+3，

即x=0或12x+5y﹣15=0；

（2）解：設點M（x，y），由|MA|=2|MO|，化簡得：x2+（y+1）2=4，

∴點M的軌跡為以（0，﹣1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，

又∵點M在圓C上，

∴圓C與圓D的關系為相交或相切，

∴1≤|CD|≤3，其中|CD|= ，

∴1≤ ≤3，

解得：0≤a≤ ．直線

【解析】1、根據題意可得a=1，求出圓的方程為（x﹣1）2+（y+2）2=1。分情況討論，直線斜率存在或不存在，利用直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑可求出兩條直線的方程。
2、由題意可得點M的軌跡是圓，再利用圓與圓的關系為相交或相切，可得到1≤|CD|≤3，求出|CD|的表達式，代入解得。