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已知數(shù)列{an}滿足a 1=
2
5
，且對任意n∈N+，都有
an
an+1
=
4an+2
an+1+2
．
（1）求{an}的通項公式；
（2）令bn=an•an+1，Tn=b1+b2+b3+…+bn，求證：Tn＜
4
15
．
分析：（1）對數(shù)列遞推式化簡，可得數(shù)列{
1
an
}是以
5
2
為首項，
3
2
為公差的等差數(shù)列，由此可得求{an}的通項公式；
（2）利用裂項法求數(shù)列的和，即可證得結(jié)論．
解答：（1）解：∵
an
an+1
=
4an+2
an+1+2
，
∴2an-2an+1=3anan+1
∴
1
an+1
-
1
an
=
3
2

∴數(shù)列{
1
an
}是以
5
2
為首項，
3
2
為公差的等差數(shù)列
∴
1
an
=
5
2
+
3
2
(n-1)=
3n+2
2

∴an=
2
3n+2
；
（2）證明：bn=an•an+1=
2
3n+2
•
2
3n+5
=
4
3
(
1
3n+2
-
1
3n+5
)
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=
4
3
(
1
5
-
1
3n+5
)＜
4
15
…（12分）
點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的通項公式，考查裂項法求數(shù)列的和，考查不等式的證明，正確確定數(shù)列的通項是關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若數(shù)列{bn}滿足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn；
（3）數(shù)列{an-bn}是否存在最大項，如果存在求出，若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1則{an}的通項公式
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）證明：對于一切正整數(shù)n，不等式a1•a2•…an＜2•n！

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k項的和S3k（用k，a表示）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•北京模擬）已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通項公式an等于
2n-1
2n-1
．

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