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（2013•江門二模）在平面直角坐標系xOy中，以Ox為始邊，角α的終邊與單位圓O的交點B在第一象限，已知A（-1，3）．
（1）若OA⊥OB，求tanα的值．
（2）若B點橫坐標為
45
，求S△AOB．
分析：（1）根據三角函數的定義，設B（cosα，sinα），其中α∈(0，
π
2
)．根據OA⊥OB，利用向量的數量積為零列式，可得cosα=3sinα，再由同角三角函數的商數關系可求出tana的值．
（2）根據題意，求出B的坐標為（
4
5
，
3
5
），從而得到向量
OA
、
OB
的數量積，然后運用夾角公式算出cos∠AOB=
10
10
，再用同角三角函數的平方關系算出sin∠AOB=
3
10
10
，最后根據|
OA
|=1、|
OB
|=
10
運用正弦定理的面積公式，即可得到S△AOB的值．
解答：解：∵點B在單位圓上，且在第一象限
∴設B（cosα，sinα），α∈(0，
π
2
)
（1）∵OA⊥OB，
∴
OA
•
OB
=0，即-cosα+3sinα=0，
可得cosα=3sinα，所以tanα=
sinα
cosα
=
1
3
；
（2）∵B點橫坐標為
4
5
，
∴cosα=
4
5
，可得sinα=
1-cosα2
=
3
5
（舍負）
因此B的坐標為（
4
5
，
3
5
）
∵A（-1，3），可得|
OA
|=
(-1)2+32
=
10

∴cos∠AOB=
OA
•
OB
|
OA
|•|
OB
|
=
-1×
4
5
+3×
3
5
10
×1
=
10
10

由此可得，sin∠AOB=
1-cos2∠AOB
=
3
10
10

因此，S△AOB=
1
2
|
OA
|•|
OB
|sin∠AOB=
1
2
×
10
×1×
3
10
10
=
3
2
．
點評：本題給出單位圓與角α在第一象限的交點為A，求α的正切值，并求三角形AOB的面積．著重考查了三角函數的定義、同角三角函數基本關系和向量數量積公式、夾角公式等知識，屬于基礎題．
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1
3
1
3
．

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．

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