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已知函數(shù)，，其中．

（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若對(duì)任意的（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）都有≥成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【解析】（1）根據(jù)建立關(guān)于a的方程求a即可.

（2）本題要分別求出f(x)在[1,e]上的最小值，g(x)在[1，e]上的最大值，然后

,解關(guān)于a的不等式即可.

設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知a＝1，b＝2，cosC＝. (1)求△ABC的周長；       (2)求cos(A－C)的值．

【解析】（1）借助余弦定理求出邊c，直接求周長即可.（2）根據(jù)兩角差的余弦公式需要求sinC,sinA,cosA,由正弦定理即可求出sinA,進(jìn)而可求出cosA.sinC可由cosA求出，問題得解.

已知正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁，

  O是底面ABCD對(duì)角線的交點(diǎn).

（1）求證：A₁C⊥平面AB₁D₁；

（2）求.

【解析】（1）證明線面垂直，需要證明直線垂直這個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，本題只需證：即可.

（2）可以利用向量法，也可以根據(jù)平面A₁ACC₁與平面AB₁D₁垂直，可知取B₁D₁的中點(diǎn)E，則就是直線AC與平面AB₁D₁所成的角.然后解三角形即可.

已知數(shù)列是首項(xiàng)為的等比數(shù)列，且滿足.

（1）   求常數(shù)的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）   若抽去數(shù)列中的第一項(xiàng)、第四項(xiàng)、第七項(xiàng)、……、第項(xiàng)、……，余下的項(xiàng)按原來的順序組成一個(gè)新的數(shù)列，試寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3） 在（2）的條件下，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.是否存在正整數(shù)，使得？若存在，試求所有滿足條件的正整數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【解析】第一問中解：由得，，

又因?yàn)榇嬖诔��?shù)p使得數(shù)列為等比數(shù)列，

則即，所以p=1

故數(shù)列為首項(xiàng)是2，公比為2的等比數(shù)列，即.

此時(shí)也滿足，則所求常數(shù)的值為1且

第二問中，解：由等比數(shù)列的性質(zhì)得：

（i）當(dāng)時(shí)，；

（ii） 當(dāng)時(shí)，，

所以

第三問假設(shè)存在正整數(shù)n滿足條件，則，

則（i）當(dāng)時(shí)，

，

已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線為，若時(shí)，有極值.

（1）求的值；

（2）求在上的最大值和最小值.

【解析】（1）根據(jù)可建立關(guān)于a,b,c的三個(gè)方程，解方程組即可.

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，利用導(dǎo)數(shù)列表求極值，最值即可.