Question

如圖所示，有兩只完全相同的溢水杯分別盛有密度不同的A、B兩種液體，將兩個體積均為V，所受重力分別為G_C、G_D的小球C、D分別放入兩容器中，當兩球靜止時，兩杯中液面相平，且C球有一半體積浸入液體中，D球全部浸入液體中．此時兩種液體對甲、乙兩容器底部的壓強分別為p_A、p_B；甲、乙兩容器對桌面的壓強分別為p₁、p₂．要使C球剛好完全沒入液體中，須對C球施加豎直向下的壓力F，若用與F同樣大小的力豎直向上提D球，可使它有V₁的體積露出液面．已知C、D兩球的密度比為2：3．則下述判斷正確的是（ ）

A．p₁＞p₂；2G_C=3G_D
B．3p₁=4p₂；p_A＞p_B
C．3G_C=2G_D；3V₁=2V
D．3p_A=4p_B；3V₁=V

Answer 1

【答案】分析：（1）兩球體積相同，知道兩球的體積關系，利用G=mg=ρVg求兩球重力關系
（2）當兩球靜止時，C球有一半體積浸入液體中，利用阿基米德原理和漂浮條件得出液體A的密度與C球密度關系；
由于D球懸浮，可以得出液體B的密度與D球密度關系；進而得出兩種液體的密度關系；又知道液面等高，利用液體壓強公式求液體對容器底的壓強關系；
（3）由于C球漂浮、D球懸浮，C球和D球排開的液體重都等于球本身重，而容器對桌面的壓力都等于容器重加上液體重，可得容器對桌面的壓力關系，同樣的容器、受力面積s相同，根據壓強公式得出甲、乙兩容器對桌面的壓強關系，因為不知道液體和容器重的關系，無法得出p₁和p₂的具體大小關系；
（4）要使C球剛好完全沒入液體中，F+G_C=F_浮C；對于D球，F+F_浮D=G_D，據此求出V₁與V的具體關系．
解答：解：（1）∵G=mg=ρVg，兩球體積相同，
∴G_C：G_D=ρ_CVg：ρ_DVg=ρ_C：ρ_D=2：3，即3G_C=2G_D；
（2）當兩球靜止時，C球有一半體積浸入液體中，
∵F_浮=ρ_液V_排g，
∴C球受到的浮力：
F_C=ρ_AVg，
∵C球漂浮，
∴F_C=G_C=ρ_CVg，
∴ρ_AVg=ρ_CVg，
ρ_A=2ρ_C，
∵D球懸浮，
∴ρ_B=ρ_D，
∴ρ_A：ρ_B=2ρ_C：ρ_D=2ρ_C：ρ_C=4：3，
∵兩容器液面等高，
∴液體對容器底的壓強：
p_A：p_B=ρ_Agh：ρ_Bgh=ρ_A：ρ_B=4：3，即3p_A=4p_B；
（3）∵F_浮=G_排=G_物，
∴C球和D球排開的液體重都等于球本身重，
∴容器對桌面的壓力都等于容器重加上液體重和球重，F_壓=G_容器+G_液+G_球，
∵ρ_A＞ρ_B，
∴G_A＞G_B，
∴對桌面的壓力：
F_A＞F_B，
∵p=，同樣的容器、s相同，
∴甲、乙兩容器對桌面的壓強：
p₁＞p₂；因為不知道液體和容器重的關系，無法得出p₁和p₂的具體關系；
（4）要使C球剛好完全沒入液體中，F+G_C=F_浮C，即F+ρ_CVg=ρ_AVg，---①
對于D球，F+F_浮D=G_D，即F+ρ_B（V-V₁）g=ρ_DVg，-----②
①-②得：
ρ_CVg-ρ_B（V-V₁）g=ρ_AVg-ρ_DVg，
ρ_CVg-ρ_BVg+ρ_BV₁g=ρ_AVg-ρ_DVg，
∴ρ_BV₁g=ρ_AVg-ρ_DVg-ρ_CVg+ρ_BVg=ρ_AVg-ρ_CVg=ρ_CVg，
V₁：V=ρ_C：ρ_B=ρ_C：ρ_D=2：3，即3V₁=2V．
由上述分析可知，3G_C=2G_D、3p_A=4p_B、p₁＞p₂、3V₁=2V．
故選C．
點評：本題考查了學生對密度公式、重力公式、阿基米德原理、物體的浮沉條件、液體壓強公式的掌握和運用，將4個問題分別研究得出答案是本題的關鍵．