Question

如圖所示，起重機將一箱設備沿豎直方向勻速吊裝到施工高臺上，設備重4000N，施工臺距離地面的高度為3m．（取g=10N/kg ）
（1）起重機的質量為8t，工作時，用支架將汽車的輪胎支離開地面．如果地面能承受的最大壓強是7×10⁴Pa，支架與地面接觸的總面積是多少？
（2）起重臂OA長12m，且與水平方向夾角為30°．支撐臂與起重臂垂直，作用點為B，且OB=4m，求支撐臂給起重臂的支持力（忽略起重臂自重，cos30°≈0.87）．
（3）如果動滑輪上每段鋼繩的拉力是2500N，求起重機做的額外功和機械效率．

Answer 1

已知：m₁=8t=8×10³kg，G₂=4000N，p=7×10⁴Pa，F=2500N，OA=12m，cos30°≈0.87，h=3m，g=10N/kg
求：（1）支架與地面接觸的總面積S；
（2）支撐臂給起重臂的支持力F_B；
（3）起重機做的額外功W_額和機械效率η．
解：（1）起重機的重力：
G₁=m₁g=8×10³kg×10N/kg=8×10⁴N，
設備重：
G₂=4000N，
起重機對地的壓力：
F=G₁+G₂=8×10⁴N+4000N=8.4×10⁴N，
根據壓強公式p=可得，支架的與地的最小接觸面積
S===1.2m²；
（2）作用在A點的力：
F_A=G₂=4000N
由圖可知力F_A的力臂：
l_A=OAcon30°=12m×0.87=10.44m，
根據杠桿平衡條件可得：
F_B===10440N；
（3）繩子自由端移動的距離：
s=2h=2×3m=6m，
拉力做的有用功：
W_有=Gh=4000N×3m=1.2×10⁴J，
拉力做的總功：
W_總=Fs=2500N×6m=1.5×10⁴J，
額外功：
W_額=W_總-W_有=1.5×10⁴J-1.2×10⁴J=3000J，
起重機的機械效率：
η=×100%=×100%=80%．
答：（1）支架與地面接觸的總面積是1.2m²；
（2）支撐臂給起重臂的支持力為10440N；
（3）起重機做的額外功為3000J，機械效率為80%．
分析：（1）支架對地面的壓力等于起重機重和設備重之和，又知道地面能承受的最大壓強，根據壓強公式求出支架與地面接觸的總面積；
（2）作用在A點的力和設備的重力相等，利用三角函數可表示出阻力力臂的長，再利用杠桿的平衡條件可求出支撐臂給起重臂支持力的大小；
（3）根據s=nh求出繩子自由端移動的距離，利用W=Gh求出有用功，利用W=Fs求出總功，總功減去有用功即為額外功，然后利用效率公式求出起重機的機械效率．
點評：本題中綜合考查了多個力學公式的運用，包括功、功率、機械效率、壓強、杠桿的平衡條件等，同時還有對滑輪的分析、杠桿的分析、三角函數的應用等，綜合性較強，值得我們認真思考．