Question

測定患者的血沉，是醫學上用來幫助醫生對病情作出正確判斷的一種手段．把新鮮的血液，加入抗凝劑，靜置一定時間后形成抗凝血后，紅血球即從血漿中分離出來而下沉．設抗凝血是由紅血球和血漿組成的懸浮液，血漿的密度ρ₀≈1.0×10³kg/m³，紅血球的密度ρ≈1.3×10³kg/m³．將抗凝血放進豎直放置的血沉管內（抗凝血的注入點與血漿液面齊平），紅血球起初在血漿中加速下沉，然后一直勻速下沉，其勻速下沉的速度稱為“血沉”．正常人血沉的值大約是v_r=12mm/h．如果把紅血球近似看作半徑為R的小球，它在血漿中下沉時所受的粘滯阻力為f=6πηRV，在室溫下η=1.8×10^-3Pa?s，已知V_球=

4

3

πR³，試根據以上信息解答下列問題：
（1）紅血球在血漿中為什么先加速下沉、后一直勻速下沉？
（2）請畫出紅血球在血漿中由靜止自由下落時的v-t圖象．
（3）推導出紅血球半徑的表達式，并計算出它的大小．

Answer 1

分析：（1）先對紅血球進行受力分析，然后比較紅血球受到豎直向上和豎直向下合力的大小確定紅血球的運動狀態；
（2）根據紅血球在血漿中先加速下沉、后一直勻速下沉做出紅血球在血漿中由靜止自由下落時的v-t圖象；
（3）先表示出紅血球受到的浮力和重力，然后根據紅血球在血漿中勻速下沉時，受到平衡力作用的等價關系，化簡得出R的表達式，然后將已知條件代入式中即可求得．

解答：解：（1）紅血球在血漿中下沉時受力情況如圖所示：

紅血球由靜止開始下沉時，速度很小，根據f=6πηRv可知，所受的粘滯阻力也非常小，由于血漿的密度ρ₀小于紅血球的密度ρ，紅血球受到的浮力小于重力，所以剛開始f+F_浮＜G，合力向下，紅血球會加速下沉；隨著紅血球下沉速度變大，粘滯阻力增大，當f+F_浮=G時，合力為零，紅血球就會勻速下沉．
（2）紅血球在血漿中先加速下沉、后一直勻速下沉，則由靜止自由下落時的v-t圖象如下圖所示：

（3）當紅血球在血漿中勻速下沉時，受力平衡，所以f+F_浮=G，
F_浮=ρ₀V_排g=ρ₀

4

3

πR³g=

4

3

πρ₀gR³，
G=mg=ρV_排g=ρ

4

3

πR³g=

4

3

πρgR³，
∵f=6πηRv
∴6πηRv+

4

3

πρ₀gR³=

4

3

πρgR³
即R=

9ηv  2(ρ-ρ0)g

已知：g=10N/kg，η=1.8×10^-3Pa﹒s，v=12mm/h=

1

3

×10^-5m/s，ρ₀≈1.0×10³kg/m³，ρ≈1.3×10³kg/m^3_，
代入上式得：
R=

9×1.8×10-3× 1 3 ×10-5 2×(1.3×103-1.0×103)×10

=3×10^-6m．
答：（1）紅血球由靜止開始下沉時，速度很小，根據f=6πηRv可知，所受的粘滯阻力也非常小，由于血漿的密度ρ₀小于紅血球的密度ρ，紅血球受到的浮力小于重力，所以剛開始f+F_浮＜G，合力向下，紅血球會加速下沉；隨著紅血球下沉速度變大，粘滯阻力增大，當f+F_浮=G時，合力為零，紅血球就會勻速下沉；
（2）紅血球在血漿中由靜止自由下落時的v-t圖象如上圖所示；
（3）紅血球半徑的表達式為R=

9ηvr 2(ρ-ρ0)g

，它的大小為3×10^-6m．

點評：本題綜合考查重力計算公式、浮力計算公式以及二力平衡條件的應用，重點是能夠正確分析出紅血球的受力情況是解答本題的關鍵．