Question

6．質量分布均勻，形狀規則的物體的重心，就在它的幾何中心上，如果是形狀不規則的物體，例如湯匙，可將其放在手指上，仔細調節支撐湯匙的支點位置，使其在手指上平衡，這時就可知道湯匙的重心就在支點上方．如圖15所示，現有一個質量分布均勻且有一定厚度，半徑為R的圓盤，緊貼其邊緣截下一半徑為r的小圓盤，且R=3r．求：截下小圓盤后，剩余部分的重心到大圓盤圓心O的距離是多少？

Answer 1

分析 利用挖補法分析重心的位置．根據題意可知挖去的小圓盤面積為大圓盤面積的$\frac{1}{9}$，假設將挖去的小圓盤可補上，在原重心處可以將物體支撐起來，運用杠桿的平衡條件列式解答．

解答 解：
根據題意，大圓盤的圓心和小圓盤的圓心以及剩余部分的重心應該在大圓盤的一條直徑上．挖去小圓盤后，由于大部分質量分布在右側，剩余部分的重心在大圓盤圓心O點的右側位置．因為R=3r，由圓的面積公式可知，所以割去的小圓盤面積為大圓盤面積的$\frac{1}{9}$，所以挖去的小圓盤的重力是大圓盤的重力的$\frac{1}{9}$；設完整大圓盤的質量為m千克，挖去小圓盤后，圓的重心將從O點向右移動x；假設將挖去的小圓盤可補上，在原重心O處可以將物體支撐起來，根據杠桿的平衡條件可得：$\frac{1}{9}$mg•（R-r）=（1-$\frac{1}{9}$）mg•x，解得：x=$\frac{1}{4}$r．即截下小圓盤后，剩余部分的重心到大圓盤圓心O的距離是$\frac{1}{4}$r．
答：截下小圓盤后，剩余部分的重心到大圓盤圓心O的距離是$\frac{1}{4}$r．

點評 此題有一定的難度，本題要明確重心的定義，規則物體的重心在其幾何中心處；還要會利用挖補法分析重心的位置，巧妙運用杠桿的平衡條件是解題關鍵．