Question

廢棄空礦井的底部固定一減震彈簧，彈簧上端與裝有監控儀器的長方體空心鐵盒A相連，A放在彈簧上平衡時，彈簧被壓縮了10cm．當在井中注滿水的過程中，A緩慢上升20cm后就不再升高．此時將另一個體積形狀與A相同的有磁性的盒子B用繩子系住釋放到水下，B碰到A的上表面后二者在磁力作用下吸在一起．與此同時，A與彈簧脫開，繩子的另一端與如圖1所示的滑輪組相連，工人站在水平地面上，將A和B一起完全拉出水面，此過程中滑輪組的機械效率η隨時間t變化的圖象如圖2所示，已知鐵盒A的高度l為30cm，減震彈簧的彈力大小F_彈隨注水時A上升的高度h變化的圖象如圖3所示，不計繩重，滑輪軸處的摩擦和水的阻力，g=10N/kg．

求：（1）鐵盒A的體積．
（2）動滑輪的總重．
（3）假設人拉繩的速度保持恒定，求A、B出水前人的拉力F的功率．

Answer 1

解：（1）A在彈簧上平衡時受力分析如答圖1甲，則 G_A=F_彈，
由F_彈-h圖象知上升高度h=0時，F_彈=200N，
∴G_A=200N．
當A上升了20cm后不再升高，說明此時A全部浸沒在水中，受力分析如答圖2乙，
此時有F_浮=G_A+F_彈′，
由圖象知上升高度h=20cm時，F_彈′=200N，
F_浮=200N+200N=400N，
根據阿基米德原理得：
V_A===4×10^-2m³；
（2）由η-t圖象可知t₁=4s時，η₁=40%，對應B的上表面剛到達水面的狀態，
A、B的受力分析如答圖2，繩的拉力T₁、G_A、G_B、2F_浮，
則T₁+2F_浮=G_A+G_B，
∴T₁=G_A+G_B-2F_浮=200N+G_B-2×400N=G_B-600N，
在不計繩重，滑輪軸處的摩擦和水的阻力時，
η₁=，即：40%=----------①
由η-t圖象可知t₂=7s時，η₂=80%，對應A的下表面剛離開水面的狀態，
A、B的受力分析如圖3，繩的拉力T₂、G_A、G_B，
則T₂=G_A+G_B，
∴T₂=G_A+G_B=200N+G_B，
η₂=，即：80%=------------②
①②聯立解得G_B=760N，G_輪=240N．
（3）滑輪組的繩子股數為4股，由η-t圖象可知t₁=4s到t₂=7s是A、B出水的過程，這段時間內上升的距離為2L，
所以人拉繩的速度v===0.8m/s．
出水前人的拉力F===100N．
功率P=Fv=100N×0.8m/s=80W．
答：（1）鐵盒A的體積為4×10^-2m³．
（2）動滑輪的總重為240N．
（3）假設人拉繩的速度保持恒定，求A、B出水前人的拉力F的功率為80W．
分析：（1）根據F_彈-h圖象分析得出h=0時和h=20cm時，彈簧拉力的大小，結合物體的受力分析，根據受力平衡即可求出浮力，然后根據阿基米德原理求體積．
（2）對A、B的上表面剛到達水面的狀態和下表面剛離開水面的狀態，進行受力分析，得出關于拉力的表達式，然后根據機械效率的公式列出等式解之即可．
（3）根據滑輪組的繩子股數和η-t圖象t₁=4s到t₂=7s是A、B出水的上升的距離求出繩的速度和拉力．利用公式P=Fv求功率．
點評：本題考查浮力和滑輪組的機械效率，是一道綜合性較強的計算題，關鍵是分清物體的受力情況，知道在不計繩重，摩擦和水的阻力時，η=．