Question

8．（1）如圖1所示，小球沿光滑的線路由A經B、C到D，已知弧AB、弧CD和線段BC三段長度相等，A、B、C、D在同一水平面上，則球經過三段的時間按短到長的排列為t_AB＜t_BC＜t_CD．

（2）小偉騎自行車上學．他留心了一下，測出1min內雙腳踩著腳踏板轉了40圈．已知中軸大齒盤上有30個齒，固定在后輪軸上的飛輪有12個齒，車輪直徑為70cm，那么小偉騎車的速度為3.66m/s．
（3）如圖2，設木棒與圓木之間不滑動，以地面為參照物，圓木向前滾動1m時，上方的木棒向前移動了
2m．
（4）一個球從高h處下落，著地后每次都回跳到前一次高度的一半．若歷時t秒球才停止運動．那么球運動的平均速率為$\frac{3h}{t}$．

Answer 1

分析 （1）先比較它們的平均速度，然后根據路程和平均速度可知所用時間的關系；
（2）根據自行車中軸大齒盤齒數與后輪軸上的飛輪上齒的個數關系，得到車輪轉的圈數，然后求出輪子的周長，
最后得到自行車通過的路程，然后運用速度公式v=$\frac{s}{t}$求出騎車的速度；
（3）建立動滑輪模型，根據動滑輪的特點即可得出木棒移動的距離；
（4）設第n次球著地點通過的路程是s_n，可得數列{s_n}首項為h，公比為$\frac{1}{2}$的等比數列，
由等比數列的求和公式求出總路程，根據v=$\frac{s}{t}$求出球運動的平均速率．

解答 解：（1）因為接觸面光滑，所以ABCD四點的速度相同，并且s_AB=s_BC=s_CD，
而在AB內的平均速度比A點的速度大、在BC內的平均速度等于A點的速度、在CD內的平均速度小于A點的速度；
因此v_AB＞v_BC＞v_CD，由t=$\frac{s}{v}$可知：t_AB＜t_BC＜t_CD．
（2）由題意知：踏腳板轉了40圈就說明大齒盤轉40圈，那么車輪轉的圈數為：40×$\frac{30齒}{12齒}$=100圈；
車輪轉一圈通過的路程（周長）為：s₀=πd=3.14×0.7m=2.198m；
車輪在1分鐘內通過的路程為s=100s₀=100×2.198m=219.8m；
騎車的速度為：v=$\frac{s}{t}$=$\frac{219.8m}{60s}$≈3.66m/s；
（3）如圖2所示，將圓木看作動滑輪，木板看作細繩，
木棒向前移動了s_木棒=2s_圓木=2×1m=2m．
（4）該球第1次著地通過的路程s₁=h，
第2次著地通過的路程s₂=$\frac{h}{2}$+$\frac{h}{2}$=h，
第3次著地通過的路程s₃=$\frac{h}{4}$+$\frac{h}{4}$=$\frac{h}{2}$，
第4次著地通過的路程s₄=$\frac{h}{8}$+$\frac{h}{8}$=$\frac{h}{{2}^{2}}$，
…
第n次著地通過的路程s_n=$\frac{h}{{2}^{n-1}}$+$\frac{h}{{2}^{n-1}}$=$\frac{h}{{2}^{n-2}}$，
則該球從開始下落到停止運動通過的總路程：
s_總=s₁+s₂+s₃+s₄+…+s_n
=h+h+$\frac{h}{2}$+$\frac{h}{{2}^{2}}$+…+$\frac{h}{{2}^{n-2}}$
=h+$\frac{h（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=3h．
所以球運動的平均速率：
v=$\frac{{s}_{總}}{t}$₌$\frac{3h}{t}$．
故答案為：（1）t_AB＜t_BC＜t_CD；（2）3.66；（3）2；（4）$\frac{3h}{t}$．

點評 （1）根據運動特點，選用適當的規律求解，是對學生重要要求，因此在學習中要熟悉運動規律，正確選用有關公式求解．
（2）此題考查速度的計算問題，同時還考查自行車工作的原理，結合題目條件逐步運算最后得到答案．
（3）本題注重考查學生的物理建模思維能力，正確選擇物理模型是解決實際問重要途徑和方法，近年來，物理模型的識別、構建和遷移是中考、競賽的命題熱點，同學們在平時訓練中要注意掌握！
（4）本題的關鍵是運用等比數列求和公式求出總路程，對數學知識要求較高，對于初中生來說，難度較大！