Question

（2012•黃浦區一模）已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AB=3，AD=2，AA₁=2，如圖所示，則異面直線AB₁與DA₁所成的角是

arccos

26

13

（結果用反三角函數值表示）．

Answer 1

分析：由題意可得，DA₁∥CB₁，將異面直線AB₁與DA₁所成的角轉化為AB₁與CB₁所成的角，在△ACB₁中，利用余弦定理即可求得答案．

解答：解：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁的長方體，
∴DA₁∥CB₁，
∴AB₁與DA₁所成的角就是AB₁與CB₁所成的角∠AB₁C，
在△ACB₁中，AB₁=

9+4

=

13

，CB₁=2

2

，AC=

13

，
∴由余弦定理得，
cos∠AB₁C=

AB12+CB12-AC2

2×AB1×CB1

=

8

2× 13 ×2 2

=

2

26

=

26

13

．
∴0＜∠AB₁C＜

π

2

∴∠AB₁C=arccos

26

13

．
故答案為：arccos

26

13

．

點評：本題考查異面直線及其所成的角，考查反三角函數的運用，將異面直線AB₁與DA₁所成的角轉化為AB₁與CB₁所成的角是關鍵，屬于中檔題．