Question

如圖所示，兩個完全相同的杯子置于水平桌面上，甲裝密度為ρ₁的液體，乙裝密度為ρ₂的液體，兩杯子底部所受液體壓強相等，甲杯中液體質量為M₁，乙杯中液體質量為M₂．當把小球A放在甲杯中時，有1/4體積露出液面，此時液體對容器底部的壓強為P₁；當把小球B放在乙杯中時，小球全部浸在液體中，此時液體對容器底部的壓強為P₂（兩次液體均未溢出）．已知ρ₁：ρ₂=5：4，兩球體積相等．則下列判斷正確的是（　　）

A、M₁＞M₂  P₁=P₂

B、M₁＜M₂  P₁＜P₂

C、M₁=M₂ P₁＞P₂

D、M₁＜M₂  P₁＞P₂

Answer 1

分析：（1）根據兩杯子底部所受液體壓強相等，利用圓柱形的容器G=F=ps的特點先得出重力相等，然后減去由于杯子凹進去而應減少的液體重力即可比較得出；
（2）小球A放在甲杯中漂浮，小球B放在乙杯中時，小球全部浸在液體中，根據公式p=ρgh求出液體對容器底部的壓強p₁和p₂，進而根據ρ₁：ρ₂=5：4分析判斷其代數式大小．

解答：解：①根據題意可知，兩杯子底部所受液體壓強相等，即：p₁=p₂，若杯子為圓柱形，則根據G=F=ps可知，G₁′=G₂′，
而由于杯子是如圖所示形狀，則甲、乙裝的液體重力為：G₁=G₁′-△G₁′，G₂=G₂′-△G₂′；
因△G₁′=ρ₁△V，△G₂′=ρ₂△V；（△V為杯子凹進去的部分體積）
∵ρ₁：ρ₂=5：4，即ρ₁＞ρ₂，
∴△G₁′＞△G₂′，
∴M₁＜M₂；
②當把小球A放在甲杯中時，有

1

4

體積露出液面，則液體對容器底部的壓強p₁=ρ₁g（h₁+

3 4 V

S

），
當把小球B放在乙杯中時，小球全部浸在液體中，則液體對容器底部的壓強p₂=ρ₂g（h₂+

V

S

），
∴p₁-p₂=ρ₁g（h₁+

3 4 V

S

）-ρ₂g（h₂+

V

S

）
=（ρ₁gh₁-ρ₂gh₂）+（ρ₁g

3V

4S

-ρ₂g

V

S

）
=（ρ₁gh₁-ρ₂gh₂）+（

3

4

ρ₁-ρ₂）g

V

S

∵兩杯子底部所受液體壓強相等，則有ρ₁gh₁=ρ₂gh₂；
∵ρ₁：ρ₂=5：4，
∴ρ₁=

5

4

ρ₂，
∴

3

4

ρ₁-ρ₂=

3

4

×

5

4

ρ₂-ρ₂=（

15

16

-1）ρ₂＜0，
∴p₁-p₂＜0，
即p₁＜p₂．
故選B．

點評：本題考查液體質量和壓強的比較，注意在不能直接求解的情況下，可以間接找出共同量去比較．本題是一道難題．