Question

15．我們知道，彈簧受到的拉力越大，彈簧伸長的長度就越大．但是，用同樣大小的力去拉兩只不同的彈簧，伸長的長度不同，這說明彈簧有“軟”“硬”之分，容易被拉伸的彈簧比較軟，反之比較硬．彈簧的軟硬用它的剛性系數來表示．剛性系數越大，彈簧越硬．為了研究彈簧的剛性系數與哪些因素有關，通過有關實驗探究，取得數據如表（S為制造彈簧的金屬絲的橫截面積，n為彈簧的匝數．r為彈簧的半徑．A為彈簧的剛性系數）：

材料	S/m2	n	r/m	A/（N•m-1）
銅	3×10-6	100	1×10-2	90
鋼	3×10-6	100	1×10-2	180
銅	6×10-6	100	1×10-2	360
鋼	3×10-6	200	1×10-2	90
銅	6×10-6	100	2×10-2	45

（1）A=k$\frac{{S}^{2}}{n{r}^{3}}$（填字母表達式），其中k與制造彈簧的材料有關，材料不同，k值一般不同．上述實驗中鋼的k值k_鋼=2×10⁹N/m²．（填上數值和單位）．
（2）用粗細相同的銅絲做成半徑相同但匝數不同的彈簧，則彈簧的剛性系數和匝數的關系可以用圖象中的圖線b表示．
（3）如果用粗細相同的銅絲和鋼絲做成匝數和半徑相同的彈簧，都用l0N的力拉伸時，用銅做成的彈簧變得更長．
（4）用橫截面積為9×10^-6m²的鋼絲制成一個60匝、剛性系數為100N/m的彈簧，則該彈簧的半徑為3×10^-2 m．

Answer 1

分析 （1）實驗中主要有四個變量，分別為材料、橫截面積、彈簧匝數和彈簧的半徑，根據控制變量法的要求，分別比較第2、4行數據，3、5行數據，4、6行數據，可分析出橫截面積、彈簧匝數和彈簧的半徑與A的關系，最終歸納出表達式，再利用表達式可計算出鋼的k值，這種方法叫做等價變換法；
（2）通過剛性系數的表達式，可以看出，在其他條件相同時，彈簧的匝數越多，其剛性系數越小，因此，b是符合題意的；
（3）通過表格可以看出銅與鋼誰的剛性系數更大，再根據相同條件下，剛性系數越大的彈簧越難被拉伸這一規律可做出判斷；
（4）利用歸納得出的公式，將數據代入進行計算可得出彈簧的半徑．

解答 解：（1）根據控制變量法的要求，比較第2、4行數據可得，橫截面積S之比的平方，等于剛性系數A之比；比較第3、5行數據可得，彈簧的匝數n擴大一倍，剛性系數A減小一半；比較第4、6行數據可得，彈簧的半徑r之比的立方，等于剛性系數A之比．綜合以上分析可得，A=k•$\frac{{S}^{2}}{n{r}^{3}}$；
選擇第3行數據代入公式A=k•$\frac{{S}^{2}}{n{r}^{3}}$得，180N/m=k•$\frac{（3×1{0}^{-6}{m}^{2}）^{2}}{100×（1×1{0}^{-2}{m}^{2}）^{3}}$，解得k=2×10⁹N/m²；
將數據變在公式，這種方法叫做等價變換法．
（2）觀察圖象可知，a為成正比圖象，b是A隨彈簧匝數n的增加而減小，故圖象b與研究的數據結果相符；
（3）比較表格第2、3行中的剛性系數A可知，鋼的剛性系數大于銅的剛性系數，因此，在相同條件下，銅做成的彈簧會更容易被拉長；
（4）由剛性系數的公式變形得，r=$\root{3}{\frac{K{S}^{2}}{An}}$，代入數據解得，r=3×10^-2m．
故答案為：（1）$\frac{{S}^{2}}{n{r}^{3}}$；2×10⁹N/m²；（2）b；（3）銅；（4）3×10^-2．

點評 本實驗中的變量比較多，在分析數據時，必須在保證其他變量不變的情況下，依次分析其中的一個變量與剛性系數之間的關系，最終綜合成公式的形式，這種歸納研究的方法稱為等價變換；有了剛性系數的公式，剩余的問題基本要從公式入手進行分析和計算．