Question

（2013?滄浪區(qū)二模）我國北方常遭遇嚴重的沙塵暴天氣．所謂沙塵暴可簡化為如下情景：快速向上刮起的大風將大量沙塵顆粒揚起后懸浮在空中（不動），這時風對沙塵的作用力與沙塵的重力平衡，其作用力大小可近似表達為f=

1

2

ρSv2，其中ρ為空氣密度，S為沙塵顆粒的橫截面積，v為風速．如果沙粒的密度ρ_沙為3×10³千克/米³，沙粒半徑r為2.5×10^-4米，地面的空氣密度ρ₀為1.25千克/米³，那么要形成沙塵暴現象，地面的風速至少為

4

米/秒．假設空氣密度ρ隨地面高度h的變化關系如圖所示，那么當地面風速為8米/秒時，當地沙塵暴的最大高度為

6292

米．（沙粒可近似看成球體，且體積V=

4

3

πr3）

Answer 1

分析：沙塵顆粒受豎直向上的風力f與豎直向下的重力G作用處于平衡狀態(tài)，由二力平衡條件知，重力G和風力F相等，列出等式，解方程求出風的速度；由平衡條件求出風速為8m/s時空氣的密度，由圖象求出空氣密度隨高度變化的關系，然后由空氣的密度求出沙塵暴的高度．

解答：解：沙塵顆粒受重力G=mg=ρ_沙Vg=ρ_沙

4

3

πr3g與空氣作用力為f=

1

2

ρSv2=

1

2

ρπr²v²作用而平衡，
在地面附近空氣密度ρ₀=1.25kg/m³，由平衡條件得：ρ_沙

4

3

πr3g=

1

2

ρ₀πr²v²，
則v=

8ρ沙rg 3ρ0

=

8×3×103kg/m3×2.5×10-4m×9.8N/kg 3×1.25kg/m3

≈4m/s；
當風速v=8m/s時，由ρ_沙

4

3

πr3g=

1

2

ρπr²v²，得：ρ=

8ρ沙rg

3v2

=

8×3×103kg/m3×2.5×10-4m×9.8N/kg

3×(8m/s)2

=0.30625kg/m³=

0.30625

1.25

（ρ₀）；
由圖象知，密度ρ與高度h是一次函數關系，設關系式是ρ（ρ₀）=kh+b，
將h=0，ρ=1代入得：1=b；將h=5，ρ=0.4代入得：0.4=5k+1，解得：k=-0.12；
所以ρ與h的關系式是ρ（ρ₀）=-0.12h+1；h=

1- 0.30625 1.25

0.12

km≈6.292km=6292m．
故答案為：4；6292．

點評：沙塵顆粒被揚起后懸浮在空氣中，是靜止的物體，受到平衡力的作用，根據平衡條件列出等式進行計算是解題的關鍵．