Question

如圖所示，重16km的金屬圓柱體放在圓筒形容器中，細繩AD系于圓柱體上底面中央并沿豎直方向，杠桿AB可繞O點在豎直平面內轉動．當把小球P先后掛在B點與C點時，圓柱體對水平容器底面的壓強變化了2500p_a．當向容器中注水，使圓柱體沒入水中，為使圓柱體對容器底面的壓力恰好為零，需將小球P懸掛于距支點O1.4m的地方．已知杠桿在以上的各個狀態中，杠桿均在水平位置上平衡，AO=0.5m，CB=0.5m，圓柱體高h=0.1m．（g取10N/km，杠桿的質量、懸掛圓柱體和小球P的細繩的質量均忽略不計）求：金屬圓柱體的密度．

Answer 1

分析：（1）分別在B、C點施加力，根據杠杠平衡條件得出關于在A端施加力F₁和F₂的方程，求出F₁和F₂的大小，而圓柱體對容器底面的壓力等于圓柱體的重力減去拉力，據此求出兩種情況圓柱體對容器底面的壓力差，再根據壓強公式得出關系式（關于S的方程）；
（2）圓柱體沒入水中時，杠桿平衡，圓柱體對容器底壓力恰好為零，求出繩對杠桿A端的拉力，而此時圓柱體重等于拉力加上水的浮力，求出浮力，得出關于S的關系式；
由上面兩個關系式聯立方程組解得S的大小；利用體積公式求圓柱體的體積，知道其質量，利用密度公式求金屬圓柱體的密度．

解答：解：
設小球掛在B點時，繩子對杠桿A端的拉力為F₁，圓柱體對容器底面的壓力為N₁；小球掛在C點時，繩子對杠桿A端的拉力為F₂，圓柱體對容器底面的壓力為N₂；小球P重為G₀；圓柱體重為G．
∵F₁×AO=G₀×OB，
∴F₁=

G0×OB

AO

，
∵F₂×AO=G₀×OC，
∴F₂=

G0×(OB-CB)

AO

，
∵F₁+N₁=G，F₂+N₂=G，
∴N₂-N₁=F₁-F₂，
△p=

N2-N1

S

=

F1-F2

S

，
∴F₁-F₂=△pS=

G0×OB

0.5m

-

G0×(OB-0.5m)

0.5m

=G₀，
即：2500Pa×S=G₀------------①
圓柱體沒入水中時，杠桿平衡，圓柱體對容器底壓力恰好為零，繩對杠桿A端的拉力：
F₃×0.5m=G₀×1.4m，
F₃+F_浮=G，
F_浮=ρ_水gV_排=10³kg/m³×10N/kg×S×0.1m=1000S，
2.8G₀+1000S=160N------------②
由①②式解得  S=0.02m²
V=Sh=0.02m²×0.1m=2×10^-3m³
ρ=

m

V

=

16kg

2×10-3m3

=8×10³kg/m³．
答：金屬圓柱體的密度為8×10³kg/m³．

點評：本題考查了學生對密度公式、壓強公式、杠杠平衡條件、阿基米德原理的掌握和運用，利用杠杠兩次平衡借助圓柱體壓強減小值求出圓柱體的底面積是本題的關鍵．