Question

19．馬航MH370失聯后，我國政府積極參與搜救．某日，我兩艘專業救助船A、B同時收到有關可疑漂浮物的訊息，可疑漂浮物P在救助船A的北偏東53.5°方向上，在救助船B的西北方向上，船B在船A正東方向140海里處．（參考數據：sin36.5°≈0.6，cos36.5°≈0.8，tan36.5°≈0.75）．
（1）求可疑漂浮物P到A、B兩船所在直線的距離；
（2）若救助船A、救助船B分別以40海里/時、30海里/時的速度同時出發，勻速直線前往搜救，試通過計算判斷哪艘船先到達P處．

Answer 1

分析 （1）過點P作PE⊥AB于點E，在Rt△APE中解出PE即可；
（2）分別求出PA、PB的長，根據兩船航行速度，利用速度公式計算出兩艘船到達P點時各自所需要的時間，即可作出判斷．

解答 解：（1）過點P作PE⊥AB于點E，
由題意得，∠PAE=36.5°，∠PBA=45°，
設PE為x海里，則BE=PE=x海里，
AB=140海里，則AE=（140-x）海里，
在Rt△PAE中，$\frac{PE}{AE}$=tan∠PAE，
即：$\frac{x}{140-x}$=0.75，
解得：x=60，
所以，可疑漂浮物P到A、B兩船所在直線的距離約為60海里；
（2）在Rt△PBE中，PE=60海里，∠PBE=45°，
則BP=$\sqrt{2}$PE=60$\sqrt{2}$≈84.8海里，
根據v=$\frac{s}{t}$可得，B船需要的時間為：
t₁=$\frac{{s}_{1}}{{v}_{1}}$=$\frac{84.8海里}{30海里/時}$≈2.83h，
在Rt△PAE中，$\frac{PE}{AP}$=sin∠PAE，
所以，AP=$\frac{PE}{sin∠PAE}$=$\frac{60海里}{0.6}$=100海里，
根據v=$\frac{s}{t}$可得，A船需要的時間為：
t₂=$\frac{{s}_{2}}{{v}_{2}}$=$\frac{100海里}{40海里/時}$=2.5h，
計算可知，t₂＞t₁，
所以，A船先到達．
答：
（1）可疑漂浮物P到A、B兩船所在直線的距離為60海里；
（2）若救助船A、救助船B分別以40海里/時、30海里/時的速度同時出發，勻速直線前往搜救，通過計算可知A船先到達P處．

點評 本題考查了解直角三角形的應用，同時考查速度公式及其應用，是一道跨學科題目，解答本題的關鍵是理解方位角的定義，能利用三角函數值計算有關線段．