Question

5．圓柱形容器內放入一個體積為200cm³的長方體，現不斷往容器內注水，并記錄水的總體積V和水所對應的深度h，V和h的對應關系如圖所示，求：

（1）長方體的底面積S₁為多少？
（2）長方體受到的最大浮力為多少？
（3）長方體的密度為多少？

Answer 1

分析 由圖2可知，0～15cm的過程中水的總體積和對應的深度成正比；15cm～21cm的過程中水的總體積和對應的深度成正比；0～21cm的過程中水的總體積和對應的深度不成之比，則h=15cm后物體漂浮．
（1）15cm～21cm的過程中，由△V=S₂△h求出容器的底面積；0～15cm的過程中，根據△V=（S₂-S₁）△h求出長方體的底面積；
（2）h=15cm時，物體恰好漂浮，受到的浮力最大，根據V=Sh求出物體排開水的體積，根據阿基米德原理求出長方體受到的最大浮力；
（3）長方體漂浮時受到的浮力和自身的重力相等，根據G=mg求出長方體的質量，根據ρ=$\frac{m}{V}$求出長方體的密度．

解答 解：由圖2可知，0～15cm的過程中水的總體積和對應的深度成正比；
15cm～21cm的過程中水的總體積和對應的深度成正比；
0～21cm的過程中水的總體積和對應的深度不成之比，則h=15cm后物體漂浮．
（1）15cm～21cm的過程中，由△V=S₂△h可得，容器的底面積：
S₂=$\frac{△V}{△h}$=$\frac{300c{m}^{3}-180c{m}^{3}}{21cm-15cm}$=20cm²，
0～15cm的過程中，由△V=（S₂-S₁）△h可得，長方體的底面積：
S₁=S₂-$\frac{△V′}{△h′}$=20cm³-$\frac{180c{m}^{3}}{15cm}$=8cm²；
（2）h=15cm時，物體恰好漂浮，物體排開水的體積：
V_排=S₁h=8cm²×15cm=120cm³=1.2×10^-4m³，
長方體受到的最大浮力：
F_浮=ρ_水V_排g=1.0×10³kg/m³×10N/kg×1.2×10^-4m³=1.2N；
（3）長方體漂浮時受到的浮力和自身的重力相等，
所以，長方體的重力：
G=F_浮=1.2N，
由G=mg可得，長方體的質量：
m=$\frac{G}{g}$=$\frac{1.2N}{10N/kg}$=0.12kg，
長方體的密度：
ρ=$\frac{m}{V}$=$\frac{0.12kg}{200×1{0}^{-4}{m}^{3}}$=0.6×10³kg/m³．
答：（1）長方體的底面積S₁為8cm²；
（2）長方體受到的最大浮力為1.2N；
（3）長方體的密度為0.6×10³kg/m³．

點評 本題考查了阿基米德原理和物體浮沉條件以及密度公式的應用，從圖象中判斷出物體漂浮是解題的關鍵．