Question

（2009?海淀區一模）如圖所示，底面積為S₁的圓柱形容器中裝有未知密度的液體．將一密度為ρ的正方體金屬塊放入底面積為S₂的長方體塑料盒中（塑料盒的厚度可忽略不計），塑料盒漂浮在液面上（液體不會溢出容器），其浸入液體的深度為h₁．若把金屬塊從塑料盒中取出，用細線系在塑料盒的下方，放入液體中，金屬塊不接觸容器，塑料盒浸入液體的深度為h₂．剪斷細線，金屬塊會沉到容器的底部，塑料盒漂浮在液面上，其浸入液體的深度為h₃．若塑料盒始終處于如圖所示的直立狀態而未發生傾斜，則細線剪斷前、后液體對圓柱形容器底部的壓強減小了

ρgS2(h1-h2)(h2-h3)

S1(h1-h3)

．

Answer 1

分析：盒子漂浮時，所受浮力等于正方體重力和盒子重力之和，根據此關系列出等式；同理連上細線后正方體在液體中也受到浮力；在剪斷細線后盒子所受浮力等于重力；根據等式求出此時容器底所受的壓強，進一步求出剪斷細線后所受的壓強，從而求出減少的壓強．

解答：解：設正方體體積為V₁，設液體密度為ρ₀，
則正方體重力和盒子重力之和等于盒子所受浮力
即：ρgV₁+G_盒=ρ₀gS₂h₁…①
同理連上細線后正方體在液體中也受到浮力，則
ρgV₁+G_盒=ρ₀gS₂h₂+ρ₀gV₁…②
在剪斷細線后盒子所受浮力等于重力，則
G_盒=ρ₀gS₂h₃…③
設容器只裝液體時高度為h，則水體積S₁h，剪斷細線前容器水的高度：
總體積（液體的體積、正方體體積、盒子排開水的體積）除以底面積，
即為

(S1h+S2h2+V1)

S1

；
所以此時容器底壓強為P₁=

ρ0g(S1h+S2h2+V1)

S1

；
同理可得剪斷細線后壓強P₂=

ρ0g(S1h+S2h3+V1)

S1

；
于是減少的壓強：△p=

ρ0gS2( h2-h3)

S1

…④
由①②③式進行數學運算（比較復雜，數學過程就自己玩吧）可以得到：
P₀=

ρ(h1-h2)

h1-h3

；
代入④式得△p=

ρgS2(h1-h2)(h2-h3)

S1(h1-h3)

．
故答案為：

ρgS2(h1-h2)(h2-h3)

S1(h1-h3)

．

點評：本題考查液體壓強的計算，難點是對物體進行受力分析，判斷出液面的變化情況，這是解決本題的關鍵．