Question

（2011?朝陽區二模）如圖甲所示，裝有部分水的試管豎直漂浮在容器內的水面上，試管內水面與容器底部的距離為h，試管壁粗細均勻、厚度不計；現將一物塊完全浸沒在該試管水中，發現試管內水面與容器底部的距離恰好仍為h，如圖乙所示，若試管橫截面積與容器橫截面積之比為1：5，則下列說法正確的是（　　）

A．放入的物塊密度為5×10³kg/m³

B．放入的物塊密度為1.25×10³kg/m³

C．放入的物塊密度為2.25×10³kg/m³

D．小試管與容器內水面變化的高度相等

Answer 1

分析：1、根據試管內外液面的幾何關系：試管內液面上升的高度、試管底面下降的高度、容器液面上升的高度間的關系分析．
2、根據試管下降增加的排開水的體積等于容器內水上升增加的體積及試管橫截面積與容器橫截面積之比為1：5，求出：試管中液體上升的高度H₀、試管底部應再下沉的深度H₁、因試管下沉容器液面上升的高度H₂間關系．
3、根據物塊完全浸沒在該試管水中，重新排開的水重等于新加入的物體重力，可求出物體的密度．

解答：解：設試管底面積為S₁，容器底面積S₂，物塊完全浸沒在該試管水中后，試管中液體上升的高度是H₀，試管底部應再下沉的深度H₁，因試管下沉容器液面上升的高度H₂，
試管內物塊體積V_物=S₁H₀
G_物=ρ_物gV_物=ρ_物gS₁H₀
試管增加的浮力F_浮=ρ_水gS₁（H₁+H₂） 
容器底部增加的壓力F_壓=ρ_水gS₂H₂
因為試管放入物塊后，試管處于漂浮狀態
所以：放入物塊的重量G_物=試管增加的浮力F_浮=容器底部增加的壓力F_壓
ρ_物gS₁H₀=ρ_水gS₁（H₁+H₂）=ρ_水gS₂H₂
依題意有S₂=5S₁，代入ρ_水gS₁（H₁+H₂）=ρ_水gS₂H₂，得H₁=4H₂，H₂=0.25H₁
因試管內水面與容器底部的距離都為h，所以H₀=H₁
ρ_物gS₁H₀=ρ_物gS₁H₁=ρ_水gS₁（H₁+H₂）=ρ_水gS₁（H₁+0.25H₁）
則ρ_物=1.25ρ_水=1.25×10³kg/m³． 
故選B．

點評：解本題的關鍵是求出物塊浸入試管后，試管內液面與容器底部距離與試管內液面上升的高度、試管底下降的高度、容器內液面上升的高度間的關系．