Question

（2009?海淀區二模）如圖所示為一種蓄水箱的放水裝置，AOB是以O點為轉軸的輕質杠桿，AO呈水平狀態，A、O兩點間距離為40cm，B、O兩點的水平距離為10cm，B、O兩點的豎直距離為7cm．A點正下方的Q是一個重為5N、橫截面積為200cm²的蓋板（蓋板恰好能堵住出水口），它通過細繩與杠桿的A端相連．在水箱右側的水平工作臺上，有一質量為60kg的人通過滑輪組拉動系在B點呈豎直狀態的繩子，從而可以控制水是否能從出水口流出．若水箱中水深為50cm，當蓋板恰好要被拉起時，人對繩子的拉力為F₁，工作臺對人的支持力為F_N1；若水箱中水深為100cm，當蓋板恰好要被拉起時，人對繩子的拉力為F₂，工作臺對人的支持力為F_N2．已知F_N1與F_N2之比為69：77，蓋板的厚度、繩重及滑輪的摩擦均可忽略不計，人對繩的拉力與人所受重力在同一直線上，取g=10N/kg．求：
（1）當水箱中水深為50cm時，蓋板上表面所受水產生的壓強；
（2）人對繩子的拉力F₁的大小；
（3）若與杠桿A、B兩端連接的細繩足夠結實，而人拉滑輪組的繩子所能承受的最大拉力為330N，則為能實現使用圖中的裝置放水，水箱中水的最大深度不得超過多少？

Answer 1

分析：（1）已知水的密度和深度，利用公式p=ρgh得到蓋板上表面受到水的壓強；
（2）（3）分別以蓋板、動滑輪和人為研究對象，進行受力分析，根據合力為零和杠桿平衡條件列出等量關系式求解拉力的大小．

解答：已知：h₁=50cm=0.5m  ρ=1.0×10³kg/m³  g=10N/kg   S=0.02m²  G_板=5N  l_A=40cm=0.4m  l_B=10cm=0.1m  h₂=100cm=1m   F_N1：F_N2=69：77
求：（1）p=？（2）F₁=？（3）h_最大=？
解：（1）蓋板上表面所受水產生的壓強
p₁=ρ_水gh₁=1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.5m=5000Pa．
（2）蓋板、動滑輪和人的受力情況如下圖：

水深h₁=50cm時，蓋板受到水產生的壓力
F_Q1=P₁S=5000Pa×0.02m²=100N．
當蓋板恰好要被拉起時，受力情況如圖甲所示．根據平衡條件，可知A端繩的拉力F_A1=F_Q1+G_板=100N+5N=105N．
此時作用在杠桿A端的拉力F'_A1=F_A1=105N．
根據杠桿平衡條件可知，此時作用在B端繩上的拉力F_B1=

IA

IB

?F′_A1=

0.4m

0.1m

×105N=420N．
根據力的作用的相互性可知，此時連接B端的繩對動滑輪C的作用力F_C1=F_B1=420N．
設動滑輪所受重力為G_動，其受力情況如圖乙所示，根據平衡條件對動滑輪應有5F₁=F_C1+G_動．
此時人的受力情況如圖丙所示，因F₁=F'₁，根據平衡條件對人有
F_N1=G_人+F₁-m_人g+

1

5

（F_C1+G_動）
同理，當水深h₂=100cm時，蓋板受到水產生的壓力
F_Q2=p₂S=ρ_水gh₂S=1.0×10³kg/m³×10N/kg×1m×0.02m²=200N．
當蓋板恰好要被拉起時，繩對杠桿A端繩的拉力F'_A2=F_A2=F_Q2+G_板=200N+5N=205N．
此時作用在B端繩上的拉力F_B2=

lA

lB

?F′_A2．=

0.4m

0.1m

×205N=820N
作用在動滑輪C下端的作用力F_C2=F_B2=820N．
根據平衡條件對動滑輪應有5F₂=F_C2+G_動．
此時繩對人的拉力F'₂=F₂，所以根據平衡條件對人有F_N2=G_人+F′₂=m_人g+

1

5

（F_C2+G_動）
依題意知F_N1：F_N2=69：77，聯立可解得G_動=30N．
所以F₁=

1

5

（F_C1+G_動）=

1

5

（420N+30N）=90N．
（3）設拉力F₃=330N時，水箱中水的最大深度為h₃時蓋板恰好能被拉起．
通過上述分析可知，此時作用在動滑輪C下端的力
F_C3=5F₃-G_動=5×330N-30N=1620N．
此時作用在杠桿A端的拉力F′_A3=

IB

IA

?F_C3=

0.1m

0.4m

×1620N=405N．
根據平衡條件可知，當蓋板恰好要被拉起時A端繩對它的拉力
F_A3=F_Q3+G_板=F'_A3，因為F_Q3=ρ_水gh₃S，所以可解得
h₃=

FA3-G板

ρ水gS

=

405N-5N

103kg/m3×10N/kg×0.02m2

=2m．
答：
（1）蓋板上表面所受水產生的壓強為5000Pa．
（2）人對繩子的拉力F₁為90N．
（3）水箱中水的最大深度不得超過2m．

點評：本題是一道難題，對物體正確受力分析、作出受力示意圖、應用杠桿平衡條件、力的平衡條件是正確解答后面兩小題的關鍵．