Question

一圓筒形容器內裝有水，豎直放置在水平桌面上，筒內底面積為100厘米²．彈簧測力計的秤鉤上掛一金屬塊，手提彈簧測力計讓金屬塊的體積浸入水中靜止時，彈簧測力計的示數是6牛頓，此時水深為11.5厘米，如圖甲所示；當把金屬塊沒入水中靜止時，彈簧測力計的示數是5.5牛頓，如圖乙所示．求：
（1）金屬塊的密度是多少？
（2）當金屬塊沒入水中時，水對容器底的壓強是多少？
（3）容器內水的質量是多少？

Answer 1

解：
（1）設金屬塊的密度為ρ，體積為V
金屬塊的體積浸入水中靜止時
6=ρgV-ρ_水gV ①
金屬塊沒入水中靜止時
5.5=ρgV-ρ_水gV ②
①-②得
0.5=ρ_水gV
解得V=2.5×10^-4m³ ③
將③代入①，解得
ρ=3.2×10³kg/m³；
（2）金屬塊完全浸沒時排開水的體積增加了
V₀=×2.5×10^-4m³=0.5×10^-4m³
水的深度增加了
h₀===0.5×10^-2m
金屬塊完全浸沒時水的深度為
h=h₁+h₀=11.5×10^-2m+0.5×10^-2m=12×10^-2m
容器底受到水的壓強為
P=ρgh=1.0×10³kg/m³×10N/kg×12×10^-2m=1.2×10³Pa；
（3）金屬塊浸沒是水和金屬塊的總體積為
V=Sh=1×10^-2m2×12×10^-2m=12×10^-4m³
所以水的體積為
V_水=V-V_金=12×10^-4m³-2.5×10^-4m³=9.5×10^-4m³
水的質量為
m=ρV_水=1.0×10³kg/m³×9.5×10^-4m=0.95kg
答：
（1）金屬塊的密度為3.2×10³kg/m³；
（2）當金屬塊沒入水中時，水對容器底的壓強是1.2×10³Pa；
（3）容器中水的質量為0.95kg．
分析：在甲乙兩圖中，金屬塊都受到三個力的作用：豎直向下的重力、豎直向上的浮力和拉力．
（1）金屬塊的重力用G=ρgV計算，受到的浮力用F_浮=ρ_液gV_排計算；前后兩種情況下三個力的合力為零，由此得到等量關系方程，先求出金屬塊的體積V，最后將體積值代入方程就能得出金屬塊的密度．
（2）金屬塊完全浸沒時排開水的體積比的體積浸入水中增加了，已知容器底面積，利用h=可以得到增加的水深；原來的深度與增加的深度就是金屬塊浸沒時水的深度，最后利用P=ρgh計算容器底受到的壓強．
（3）已知金屬塊完全浸沒時水的深度和容器的底面積，可以得到水和金屬塊的總體積；由總體積和金屬塊的體積可以得出水的體積；最后利用m=ρV就能得出水的質量．
點評：物體在水中受到三個力的作用：重力、浮力和拉力，重力用G=ρgV計算，浮力用F_浮=ρ_液gV_排分析．