Question

如圖所示OB為粗細均勻的均質杠桿，O為支點，在離O點距離為a的A處掛一個質量為M的物體，杠桿每單位長度的質量為m，當杠桿為多長時，可以在B點用最小的作用力F維持杠桿平衡？（　　）

• A．

  2Ma/m

• B．

  Ma/m

• C．2Ma/m
• D．無限長

Answer 1

分析：解答本題需要根據杠桿平衡條件F₁L₁=F₂L₂去分析計算：
本題中動力為F，動力臂為OB，而阻力有兩個（一個是重物Mg，另一個是杠桿本身的重力），所以阻力臂也有兩個（重物G的力臂是OA，杠桿重力的力臂是

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2

OB），明確了動力、動力臂、阻力和阻力臂之后，我們就可以根據杠桿平衡條件列出一個方程，然后根據數學方面的知識求解方程．

解答：解：（1）由題意可知，杠桿的動力為F，動力臂為OB，阻力分別是重物G_物和杠桿的重力G_杠桿，阻力臂分別是OA和

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2

OB，重物的重力G_物=Mg
杠桿的重力G_杠桿=mg×OB，
由杠桿平衡條件F₁L₁=F₂L₂可得：
F?OB=G_物?OA+G_杠桿?

1

2

OB，
（2）代入相關數據：
則F?OB=Mg?a+mg?OB?

1

2

OB，
得：F?OB=Mga+

1

2

mg?（OB）²，
移項得：

1

2

mg?（OB）²-F?OB+Mga=0，
∵杠桿的長度OB是確定的，只有一個，所以該方程只能取一個解，
∴該方程根的判別式b²-4ac等于0，因為當b²-4ac=0時，方程有兩個相等的實數根，即有一個解，
即：則F²-4×

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mg×Mga=0，
則F²=2mMg²a，
得F=

2mMa

?g，
（3）將F=

2mMa

?g代入方程

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2

mg?（OB）²-F?OB+Mga=0，
解得OB=

2Ma m

．
故選A．

點評：本題是一道跨學科題，需要學生掌握物理的杠桿知識和數學的一元二次方程的相關知識，題中學生容易出錯的地方有三個：①對于杠桿重力的確定；②對于阻力及阻力臂的確定；③對于根的判別式的確定．