Question

在一圓柱形容器中盛有水，水面漂浮著一個小容器，當將一個實心球放入小容器中后，大容器中的水面上升的高度是7cm，如如圖所示，若把這個實心球從小容器中取出放入大容器中的水里后，水面又降低了2cm，求這個實心球的密度是多少？（小容器的質量忽略不計）

Answer 1

解：設大容器的底面積為S，
因為實心球放入小容器中后是漂浮的，所以G_球=F_浮，
由阿基米德原理可知，F_浮=G_排，
則G_球=G_排，因此m_球=m_排，
根據題意可得：m_排=ρ_水（S×0.07m），所以m_球=ρ_水（S×0.07m），
因為實心球從小容器中取出放入大容器中的水里后，水面又降低了2cm，則可知V_排減小，浮力減小，此時重力大于浮力，所以實心球放入水中后是下沉的，
則當實心球放入大容器中后，實心球的體積等于實心球排開水的體積，即V_球=V_排′=S×（0.07m-0.02m），
所以實心球的密度：ρ_球===ρ_水×=1.0×10³kg/m³×1.4=1.4×10³kg/m³．
答：這個實心球的密度是1.4×10³kg/m³．
分析：本題中沒有告訴實心球的質量和體積，所以不能直接根據密度公式ρ=算實心球的密度，但要算密度還是得圍繞ρ=去分析，所以要算密度，我們就需要想辦法知道它的質量和體積．
根據題意，質量可根據浮力知識去求解．因為實心球放入小容器中后是漂浮的，所以實心球的重力等于實心球受到的浮力，根據阿基米德原理可知，實心球受到的浮力等于它排開的液體所受的重力，所以G_物=F_浮=G_排，則G_物=G_排，兩邊都除以g，可得m_物=m_排．排開水的質量等于水的密度、大容器的底面積、大容器中的水面上升的高度的乘積．
根據題意，由于實心球從小容器中取出放入大容器中的水里后，水面又降低了2cm，則可知V_排減小，浮力減小，此時重力大于浮力，所以實心球放入水中后是下沉的，故實心球的體積等于它排開水的體積，它排開水的體積等于大容器的底面積與（7cm-2cm）的乘積．
點評：本題有一定的難度，考查了學生的綜合分析能力．解答本題的關鍵是對實心球質量和體積的求解，質量需要根據物體的浮沉條件和阿基米德原理進行求解，體積需要根據實心球前后V_排的變化和物體的浮沉條件去分析．要掌握當物體漂浮在液面上時，G_物=F_浮=G_排；當物體浸沒在液體中時，V_物=V_排．