Question

18．質量相等、邊長分別為a、b、c（a＜b＜c）的甲、乙、丙三個勻質正方形放在水平桌面上，若甲、乙沿水平方向均切去厚度為h的一塊后，剩余部分對桌面的壓強相等；若甲、丙沿水平方向均切去厚度為h′的一塊后，剩余部分對桌面的壓強相等．則（　�。�

• A． h′＞h
• B． h′＜h
• C． h′=h
• D． h′和h的大小無法判斷

Answer 1

分析 對于密度分布均勻的正方體、長方體和圓柱體，對水平桌面的壓強可以利用公式p=$\frac{F}{S}$=$\frac{G}{S}$=$\frac{mg}{S}$=$\frac{ρVg}{S}$=ρgh計算；
根據三個正方體切去一部分后對水平桌面壓強相等，確定等量關系，列出正確的方程，化簡求解．

解答 解：設三個正方體的邊長分別為a、b、c，如圖所示，

已知a、b兩個正方體切前質量相等，即ρ_aa³=ρ_bb³--①，
當甲和乙切去h后，甲的高度為a-h，乙的高度為b-h，
由p=ρgh可知，兩者對桌面的壓強：
ρ_ag（a-h）=ρ_bg（b-h），
化簡得ρ_a（a-h）=ρ_b（b-h）--②；
①÷②得$\frac{{a}^{3}}{a-h}$=$\frac{^{3}}{b-h}$，
化簡得h=$\frac{ab（a+b）}{{a}^{2}+ab+^{2}}$，
所以$\frac{1}{h}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}+ab}{ab（a+b）}$=$\frac{（a+b）^{2}-ab}{ab（a+b）}$=$\frac{a+b}{ab}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$-$\frac{1}{a+b}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{a}{b（a+b）}$--③；
已知a、c兩個正方體切前質量相等，即ρ_aa³=ρ_cc³--④，
當甲和丙切去h′后，甲的高度為a-h′，丙的高度為c-h′，
由p=ρgh可得，兩者對桌面的壓強為
ρ_ag（a-h′）=ρ_cg（c-h′），
化簡得ρ_a（a-h′）=ρ_c（c-h′）--⑤．
④÷⑤得$\frac{{a}^{3}}{a-h′}$=$\frac{{c}^{3}}{c-h′}$，
化簡得h′=$\frac{ac（a+c）}{{a}^{2}+ac+{c}^{2}}$，
所以$\frac{1}{h′}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}+ac}{ac（a+c）}$=$\frac{（a+c）^{2}-ac}{ac（a+c）}$=$\frac{a+c}{ac}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$-$\frac{1}{a+c}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{a}{c（a+c）}$--⑥；
在③和⑥中，
因為b＜c，所以b（a+b）＜c（a+c），
即$\frac{a}{b（a+b）}$＞$\frac{a}{c（a+c）}$，
也就是$\frac{1}{h}$＞$\frac{1}{h′}$
所以h′＞h．
故選A．

點評 此題是一道學科綜合題，解答的關鍵是根據兩次壓強相同，利用數學上的不等式關系，得到兩次切去的高度大小關系．