Question

（2010?平谷區二模）如圖所示，是利用器械提升重物的示意圖．當某人自由站在水平地面上時，他對地面的壓強P₀=2×10⁴Pa；當滑輪下未掛重物時，他用力勻速舉起杠桿的A端，使杠桿在水平位置平衡時，他對地面的壓強P₁=2.375×10⁴Pa；當滑輪下加掛重物G后，他用力勻速舉起杠桿的A端，使杠桿在水平位置平衡時，他對地面的壓強P₂=5.75×10⁴Pa．假設這個人用的力和繩端B用的力始終沿豎直方向，加掛重物前后他對杠桿A端施加的舉力分別為F₁、F₂，已知F₂=1500N．（杠桿、繩重和機械間摩擦忽略不計，g取10N/kg）
求：（1）F₁與F₂之比；
（2）人的質量m_人；
（3）當重物G被勻速提升過程中，滑輪組的機械效率η；
（4）已知重物G的密度與水的密度比為9：1，將重物完全浸沒在水中勻速上升時的速度為0.1m/s，若此時已知動滑輪重為100N，那么繩端B的拉力F′做功的功率P′為多大？

Answer 1

分析：（1）知道兩次用力時對地面的壓強，分別列方程式求出當滑輪下未掛重物時，他對杠桿A端施加的舉力分別為F₁、人的重力和受力面積（與地的接觸面積）；
（2）再利用重力公式求人的質量；
（3）當滑輪下未掛重物時，他用力F₁勻速舉起杠桿的A端時所做的功為利用這個機械時的額外功，當滑輪下加掛重物G后，他用力F₂勻速舉起杠桿的A端所做的功為總功，根據機械效率的公式即可求整個滑輪組的機械效率η；
（4）根據滑輪下未掛重物時，動滑輪重力為100N，利用杠桿平衡求出力臂OA與OB的關系，再根據當加掛重物后他對杠桿A端施加的舉力為F₂，由杠桿平衡條件得出重物的重力，然后當將重物完全浸沒在水中，根據重物受力情況求出對動滑輪的拉力G′，最后利用P=Fv即可求功率．

解答：解：（1）人的重力：G_人=P₀S
當滑輪下加掛重物G后，他用力勻速舉起杠桿的A端，使杠桿在水平位置平衡時，則人對地面的壓力
F₂+G_人=P₂S，
∴F₂+P₀S=P₂S，即：1500N=（5.75×10⁴Pa-2×10⁴Pa）S
∴S=0.04m²
當滑輪下未掛重物時，他用力勻速舉起杠桿的A端，使杠桿在水平位置平衡時，則人對地面的壓力
F₁+G_人=P₁S
∴F₁=P₁S-P₀S=（2.375×10⁴Pa-2×10⁴Pa）×0.04m²=150N
故F₁：F₂=150N：1500N=1：10；
答：F₁：F₂=的比值為1：10．
（2）G_人=P₀S=2×10⁴Pa×0.04m²=800N
人的質量m_人=

G人

g

=

800N

10N/kg

=80kg；
答：人的質量m_人=80kg；
（3）當滑輪下未掛重物時，他用力勻速舉起杠桿的A端，使杠桿在水平位置平衡時，假設人使杠桿A端上升高度h，則F₁做的功為W₁=F₁h，這時，因沒有提升任何物體，所的功為額外功，
當滑輪下加掛重物G后，他用力勻速舉起杠桿的A端，使杠桿在水平位置平衡時，假設人使杠桿A端上升高度h，則F₂做的總功為W₂=F₂h，
故滑輪組的機械效率η=

W2- W1

W2

×100%=

1500N×h-150N×h

1500N×h

×100%=90%；
答：當重物G被勻速提升過程中，滑輪組的機械效率η=90%
（4）當滑輪下未掛重物時，杠桿平衡，F₁=150N，
右邊的滑輪部分，因未掛重物，動滑輪重力為100N，則B端繩子的作用力F_B′=

1

2

G動=

1

2

×100N=50N，
根據杠桿平衡條件知：F₁OA=F_B′OB，
∴

OA

OB

=

F′B

F1

=

50N

150N

=

1

3

，
當加掛重物后他對杠桿A端施加的舉力為F₂，B端繩子的作用力為F_B″=

1

2

(G +G動)，則由杠桿平衡條件得：
F₂OA=F_B″OB，即：F₂OA=

1

2

(G +G動)OB，
∴G=2F2

OA

OB

-G動=2×1500N×

1

3

-100N=900N，
當將重物完全浸沒在水中，重物對動滑輪的拉力
G′=G-F_浮=G-ρ_水gV_物=G-ρ_水g

G

ρ物g

=G（1-

ρ水

ρ物

）=900N×（1-

1

9

）=800N，
所以，繩端B的拉力F′=

1

2

（G′+G_動）=

1

2

×（800N+100N）=450N，速度為v_B=2v=2×0.1m/s=0.2m/s，
功率P′=F′v_B=450N×0.2m/s=90W．
答：繩端B的拉力F′做功的功率P′=90W．

點評：本題考查壓強的計算，注意分析出壓強變化的原因，即可解答本題的杠桿A端的拉力和人的重力，正確理解在滑輪下未掛重物時，他用力勻速舉起杠桿的A端所的功為整個機械的額外功，其實在杠桿、繩重和機械間摩擦忽略不計時，這個額外功就是對動滑輪所做的功，并在（4）問中結合動滑輪的重力，利用杠桿平衡條件得出杠桿的力臂關系，這是解答本題機械效率和繩端B的拉力F′的重要關鍵所在．本題難點太大．