Question

某地區(qū)試行高考考試改革：在高三學(xué)年中舉行4次統(tǒng)一測試，學(xué)生如果通過其中2次測試即可獲得足夠?qū)W分升上大學(xué)繼續(xù)學(xué)習(xí)，不再參加其余的測試，而每個(gè)學(xué)生最多也只能參加4次測試．假設(shè)某學(xué)生每次通過測試的概率都是

2

3

，每次測試時(shí)間間隔恰當(dāng)，每次測試通過與否互相獨(dú)立．
（Ⅰ）求該學(xué)生在前兩次測試中至少有一次通過的概率；
（Ⅱ）如果考上大學(xué)或參加完4次測試，那么測試就結(jié)束．記該生參加測試的次數(shù)為X，求X的分布列及X的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知該學(xué)生在前兩次測試中至少有一次通過的對(duì)立事件是一次也沒有通過，根據(jù)對(duì)立事件的概率和相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率得到結(jié)果．
（II）該生參加測試次數(shù)X的可能取值為2，3，4，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式寫出變量的概率，寫出分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（Ⅰ）由題意知該學(xué)生在前兩次測試中至少有一次通過的對(duì)立事件是一次也沒有通過，
記“該生在前兩次測試中至少有一次通過”的事件為事件A，
根據(jù)對(duì)立事件的概率和相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率得到
P（A）=1-(1-

2

3

)2=

8

9

即該生在前兩次測試中至少有一次通過的概率為

8

9

．
（Ⅱ）該生參加測試次數(shù)X的可能取值為2，3，4，
P(X=2)=(

2

3

)2=

4

9

，
P(X=3)=

C

1 2

.

2

3

.

1

3

.

2

3

=

8

27

，
P(X=4)=

C

1 3

2

3

．(

1

3

)2+(

1

3

)3=

7

27

，
∴X的分布列為：

∴E(X)=2×

4

9

+3×

8

27

+4×

7

27

=

76

27

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式，考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查利用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，是一個(gè)必得分題目．