Question

在如圖所示的電路中，電源兩端的電壓U保持不變，將滑動變阻器的滑片P置于某位置a，其接入電路的電阻值為R_a，閉合開關S₁、斷開開關S₂、S₃，電阻R₁消耗的電功率P₁=0.8W，電壓表V₁的示數為U₁，電流表A的示數為I₁；將滑動變阻器的滑片P置于最左端，閉合開關S₁、斷開開關S₂、S₃，電阻R₁消耗的電功率P′₁=1.8W，電路消耗的總功率為P，電流表A的示數為I₂；將滑動變阻器的滑片P置于某位置b，其接入電路的電阻值為R_b，閉合開關S₁、斷開開關S₂、S₃，電路消耗的總功率為P′，電壓表V₂的示數為U₂．已知：P：P′=2：1，U₁：U₂=4：5．求：
（1）I₁與I₂的比值；
（2）R_a與R_b的比值；
（3）當滑動變阻器的滑片P置于位置a或位置b，并通過開關的斷開或閉合改變電路結構，使電路消耗的電功率最大，則此最大電功率為多大．

Answer 1

分析：先畫出三種情況的等效電路圖：
（1）根據P=I²R結合圖甲和圖乙中電阻R₁消耗的電功率求出I₁與I₂的比值．
（2）根據P=UI結合圖乙和圖丙中電路消耗的總功率求出兩者的電流之比，再根據電源的電壓不變分別根據歐姆定律和電阻的串聯特點表示出電源的電壓，利用電流關系分別得出R_a和R_b與R₁、R₂之間的關系，進一步求出R_a與R_b的比值．
（3）由實物電路圖可知，因為R_a＜R_b，所以當所有開關均閉合，滑動變阻器的滑片P置于位置a時，電路消耗的總功率最大；先根據以上關系求出圖甲和圖乙的電流關系，根據歐姆定律結合電壓表的示數關系求出R₁、R₂、R_a三電阻之間的關系；根據串聯電路電阻的分壓特點得出圖甲中R₁兩端的電壓與電源電壓之間的關系，根據電功率公式表示出電阻R₁消耗的電功率，把以上關系帶入圖丁即可求出電路消耗的最大功率．

解答：解：將滑動變阻器的滑片P置于某位置a，閉合開關S₁、斷開S₂、S₃時，等效電路如答圖甲所示；
將滑動變阻器的滑片P置于最左端，閉合開關S₁、斷開S₂、S₃時，等效電路如答圖乙所示；
將滑動變阻器的滑片P置于某位置b，閉合開關S₁、斷開S₂、S₃時，等效電路如答圖丙所示．

（1）∵P=I²R，且P₁=0.8W，P₁′=1.8W，
∴

I1

I2

=

2

3

------------------①
（2）∵P=UI，且P：P′=2：1，
∴

I2

I3

=

2

1

------------------②
∵電源的電壓不變，
∴由甲、乙兩圖可得：U=I₂（R₁+R₂）=I₁（R₁+R_a+R₂）----③
由乙、丙兩圖可得：U=I₂（R₁+R₂）=I₃（R₁+R_b+R₂）------④
由①②③④可得：
2R_a=R₁+R₂------------------------⑤
R_b=R₁+R₂------------------------⑥
∴R_a：R_b=1：2；
（3）因為R_a＜R_b，所以當所有開關均閉合，滑動變阻器的滑片P置于位置a時，電路消耗的總功率最大，其等效電路如答圖丁所示．

由①②兩式可知

I1

I3

=

4

3

-----------------⑦
∵U=IR，
∴

U1

U2

=

I1R1

I3(Rb+R2)

=

4

5

---------------⑧
由⑤⑥⑦⑧可得：

R1

R2

=

3

1

，

R1

Ra

=

3

2

；
由圖甲可得：U₁=

R1

R1+R2+Ra

U=

R1

R1+ 1 3 R1+ 2 3 R1

U=

U

2

，P₁=

U 2 1

R1

=0.8W，
解得

U2

R1

=3.2W，
根據P_max=

U2

R1

+

U2

R2

+

U2

Ra

=

(2U1)2

R1

+

(2U1)2

1 3 R1

+

(2U1)2

2 3 R1

=22

U 2 1

R1

=22×0.8W=17.6W．
答：（1）I₁與I₂的比值為2：3；
（2）R_a與R_b的比值為1：2；
（3）電路消耗的電功率最大電功率為17.6W．

點評：題考查了學生對串、并聯電路的判斷，串聯電路的特點以及歐姆定律、電功率公式的應用．本題難點在于很多同學無法將三種狀態下的功率關系及電壓關系聯系在一起，故無法找到突破口．解答此類問題時，可將每一種情況中的已知量和未知量都找出來，仔細分析找出各情況中的關聯，即可求解．