Question

（2009?大興區二模）如圖所示，電源電壓保持不變，將滑動變阻器的滑片P置于b端，只閉合S₁時，電壓表V₁的示數為U₁，電壓表V₂的示數為U₂；將滑動變阻器的滑片P置于a端，只閉合S₁時，電壓表V₁的示數為U₁′，電壓表的示數為U₂′，R₁消耗的電功率為0.81W；將滑動變阻器的滑片P置于某點c，只閉合S₁時，電壓表V₁的示數為U₁″，電壓表V₂的示數為U₂″，滑動變阻器消耗的電功率為P_c．已知U₁：U₁′=4：7，U₂：U₂′=2：1，U₁：U₁″=3：5．求：
（1）R₁與R₂的比值；
（2）P_c的大小；
（3）滑動變阻器的滑片P置于a端只閉合S₁、S₃與S₁、S₂、S₃都閉合時，兩次電流表示數之比．

Answer 1

分析：首先根據滑動變阻器滑片位置和開關的開合畫出相應的等效電路圖．
（1）根據歐姆定律表示出圖1和圖2中電流表V₂的示數求出兩電路的電流關系，再根據電阻的串聯和歐姆定律表示出兩圖中電壓表V₁的示數得出滑動變阻器最大阻值與R₁之間的關系，再根據電阻的串聯和歐姆定律表示出電源的電壓，利用電源的電壓不變得出等式即可求出R₁與R₂的比值；
（2）根據電阻的串聯特點和歐姆定律表示出圖2與圖3中電源的電壓，利用電源的電壓不變得出等式即可求出兩圖中的電流之比，根據P=I²R表示出圖2中R₁消耗的電功率和圖3中滑動變阻器消耗的電功率即可求出P_c的大小；
（3）根據歐姆定律表示出圖4中電流表的示數，根據并聯電路的電壓特點和電流特點表示出圖5中電流表的示數，進一步求出滑動變阻器的滑片P置于a端只閉合S₁、S₃與S₁、S₂、S₃都閉合時電流表的示數之比．

解答：解：將滑動變阻器的滑片P置于b端，只閉合S₁時，等效電路圖如圖1所示；
將滑動變阻器的滑片P置于a端，只閉合S₁時，等效電路圖如圖2所示；
將滑動變阻器的滑片P置于某點c，只閉合S₁時，等效電路圖如圖3所示；
滑動變阻器的滑片P置于a端只閉合S₁、S₃與S₁、S₂、S₃都閉合時，等效電路圖分別如圖4和圖5所示．

（1）圖1和圖2中，
∵I=

U

R

，
∴

U2

U2′

=

I1R2

I2R2

=

I1

I2

=

2

1

，
則

U1

U1′

=

I1R1

I2(R1+Ra)

=

I1

I2

×

R1

R1+Ra

=

2

1

×

R1

R1+Ra

=

4

7

，
解得：R_a=2.5R₁，
∵電源的電壓不變，
∴

I1

I2

=

R1+Ra+R2

R1+R2

=

R1+2.5R1+R2

R1+R2

=

3.5R1+R2

R1+R2

=

2

1

，
整理可得：

R1

R2

=

2

3

；
（2）圖2和圖3中，
∵電源的電壓不變，
∴

I2

I3

=

R1+RC+R2

R1+Ra+R2

=

R1+ 1 2 ×2.5R1+1.5R1

R1+2.5R1+1.5R1

=

3

4

，
∵P₁=0.81W，
∴P₂=I₃²R_C=（

4I2

3

）²×

1

2

×2.5R₁=

20

9

I₂²R₁=

20

9

×P₁=

20

9

×0.81W=1.8W；
（3）圖4中，電流表的示數：
I₄=

U

R1

，
圖5中，∵并聯電路中各支路兩端的電壓相等，且干路電流等于各支路電流之和，
∴I₅=

U

R1

+

U

Ra

+

U

R2

=

U

R1

+

U

2.5R1

+

U

1.5R1

=

26U

15R1

，
∴I₄：I₅=

U

R1

：

26U

15R1

=15：26．
答：（1）R₁與R₂的比值為2：3；
（2）P_c的大小為1.8W；
（3）滑動變阻器的滑片P置于a端只閉合S₁、S₃與S₁、S₂、S₃都閉合時，兩次電流表示數之比為12：26．

點評：本題目難度較大，需要學生先化簡電路圖，就開關斷開閉合時畫出合適的電路圖，并且結合歐姆定律、電功率公式及其相關的比例關系，利用數學知識解決相關知識點．