Question

13．將定值電阻R₁與R₂串聯在電壓恒為U的電源兩端，R₁消耗的電功率為9W，兩電阻消耗的功率為P；若將R₁和R₂并聯在該電源兩端，R₁消耗的電功率為25W，兩電阻消耗的功率為P′；則P：P′=6：25．

Answer 1

分析 兩電阻串聯時，根據P=UI=$\frac{{U}^{2}}{R}$表示出R₁的電功率，兩電阻并聯時它們兩端的電壓相等，根據P=UI=$\frac{{U}^{2}}{R}$表示出R₁的電功率，利用R₁消耗的電功率之比求出串聯時R₁兩端電壓與電源電壓的比值，根據串聯電路的電壓特點求出兩電阻兩端的電壓之比，根據串聯電路的電流特點和歐姆定律求出兩電阻的阻值之比；根據P=I²R表示出兩電阻時電路的總功率并結合兩電阻的阻值、R₁消耗的電功率求出電路中的總功率；根據P=UI=$\frac{{U}^{2}}{R}$表示出兩電阻并聯時電路的總功率并結合兩電阻的阻值、R₁消耗的電功率求出電路中的總功率，然后得出答案．

解答 解：兩電阻串聯時如圖1所示，兩電阻并聯時如圖2所示：

圖1中R₁的電功率P₁=$\frac{{{U}_{1}}^{2}}{{R}_{1}}$，圖2中R₁的電功率P₁′=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{1}}$，
則$\frac{{P}_{1}}{{P}_{1}′}$=$\frac{\frac{{{U}_{1}}^{2}}{{R}_{1}}}{\frac{{U}^{2}}{{R}_{1}}}$=$\frac{{{U}_{1}}^{2}}{{U}^{2}}$=$\frac{9W}{25W}$，
解得：$\frac{{U}_{1}}{U}$=$\frac{3}{5}$，
因串聯電路中總電壓等于各分電壓之和，
所以，圖1中兩電阻兩端的電壓之比：
$\frac{{U}_{1}}{{U}_{2}}$=$\frac{{U}_{1}}{U-{U}_{1}}$=$\frac{3}{5-3}$=$\frac{3}{2}$，
因串聯電路中總電阻等于各分電阻之和，
所以，由I=$\frac{U}{R}$可得，兩電阻的阻值之比：
$\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}}$=$\frac{\frac{{U}_{1}}{I}}{\frac{{U}_{2}}{I}}$=$\frac{{U}_{1}}{{U}_{2}}$=$\frac{3}{2}$，即R₂=$\frac{2}{3}$R₁，
圖1中，電路的總功率：
P=P₁+P₂=I²R₁+I²R₂=I²R₁+I²×$\frac{2}{3}$R₁=$\frac{5}{3}$I²R₁=$\frac{5}{3}$P₁=$\frac{5}{3}$×9W=15W；
圖2中，電路的總功率：
P′=P₁′+P₂′=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{1}}$+$\frac{{U}^{2}}{{R}_{2}}$=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{1}}$+$\frac{{U}^{2}}{\frac{2}{3}{R}_{1}}$=$\frac{5}{2}$$\frac{{U}^{2}}{{R}_{1}}$=$\frac{5}{2}$P₁′=$\frac{5}{2}$×25W=$\frac{125}{2}$W，
則P：P′=15W：$\frac{125}{2}$W=6：25．
故答案為：6：25．

點評 本題考查了串并聯電路的特點和歐姆定律、電功率公式的應用，利用比值法解決問題時要注意各量之間的關系，不要顛倒．