Question

（2013?石景山區一模）水平桌面上放置一個底面半徑為2r、高為2h的圓柱形薄壁開口容器如圖所示，將高為h=10cm、半徑為r、底面積為20cm²的圓柱體木塊豎直放在容器中，木塊的密度ρ=0.5ρ_水，然后向容器內注水，若要使木
塊豎直漂浮（木塊吸水忽略不計），則向容器中注入水的質量范圍是

0.3～1.5

kg．

Answer 1

分析：若使木塊豎直漂浮，注入水的質量最少，即木塊與容器底接觸且木塊對容器底的壓力恰好為零，此時木體所受的浮力等于自身的重力；根據公式F_浮=ρgV_排可求木塊排開水的體積；從而求出木塊浸入水中的深度；根據公式V=Sh可求注入水的體積；根據公式m=ρV可求注入最少水的質量．
注入水的質量最多時，水剛好不會溢出，根據公式V=Sh可求注入水的體積；根據公式m=ρV可求注入最多水的質量．

解答：解：當木塊與容器底接觸且木塊對容器底的壓強恰好為零時，此時注入水的質量最少，
F_浮=G=mg=ρS_木hg=0.5×10³kg/m³×20×10^-4m²×0.1m×9.8Nkg=0.98N，
木塊排開水的體積：
V_排=

F浮

ρ水g

=

0.98N

103kg/m3×9.8N/kg

=10^-4m³=100cm³，
木塊浸入水中的深度：
h_水=

V排

S木

=

100cm3

20cm2

=5cm，
∵容器的半徑為2r，圓柱體木塊的半徑為r
∴容器的底面積S_容=4S_木=4×20cm²=80cm²
注入水的體積為：
V_水=（S_容-S_木）h_水=（80cm³-20cm³）×5cm=300cm³
注入最少水的質量：
m_水=ρ_水V_水=1g/cm³×300cm³=300g=0.3kg；
當水注滿時，注入水的質量最多；此時注入水的體積為：V_水′=S_容（2h-h_水）+V_水=80cm²×（2×10cm-5cm）+300cm³=1500cm³，
注入最多水的質量：
m_水′=ρ_水V_水′=1g/cm³×1500cm³=1500g=1.5kg；
故向容器中注入水的質量范圍是0.3～1.5kg．
故答案為：0.3～1.5．

點評：本題考查了學生對密度公式、重力公式、阿基米德原理、物體的漂浮條件的掌握和運用，難點注入水的質量最少和最多情況的分析，知道要使木塊豎直漂浮，注入水的質量最少，木塊與容器底接觸且木塊對容器底的壓力恰好為零；注入水的質量最多時，水剛好注滿，是本題的關鍵．