Question

5．證明：若將R₁與R₂并聯后接在電壓為U的電源上，在時間t內電流通過R₁產生的熱量為Q₁，通過R₂產生的熱量為Q₂，若將R₁與R₂串聯，則t時間內兩個電阻產生的總熱量Q=$\frac{{Q}_{1}{Q}_{2}}{{Q}_{1}+{Q}_{2}}$．

Answer 1

分析 兩電阻并聯時它們兩端的電壓相等，根據Q=W=$\frac{{U}^{2}}{R}$t求出在時間t內電流通過R₁、R₂所產生的熱量，進而得出電阻的表達式；
根據兩電阻串聯時求出總電阻，再根據焦耳定律的變形公式即可推導出t時間內兩個電阻產生的總熱量．

解答 證明：并聯電路中各并聯支路兩端的電壓相等，即：U₁=U₂=U，
由Q=I²Rt=$\frac{{U}^{2}}{R}$t得，在時間t內電流通過R₁產生的熱量：
Q₁=$\frac{{U}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$t=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{1}}$t，
則：R₁=$\frac{{U}^{2}}{{Q}_{1}}$t，
在時間t內電流通過R₂產生的熱量：
Q₁=$\frac{{U}_{2}^{2}}{{R}_{2}}$t=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{2}}$t，
則：R₂=$\frac{{U}^{2}}{{Q}_{2}}$t，
若將R₁與R₂串聯，電路總電阻：
R=R₁+R₂=$\frac{{U}^{2}}{{Q}_{1}}$t+$\frac{{U}^{2}}{{Q}_{2}}$t=$\frac{{U}^{2}t（{Q}_{1}+{Q}_{2}）}{{Q}_{1}{Q}_{2}}$，
則t時間內兩個電阻產生的總熱量：
Q=$\frac{{U}^{2}}{R}$t=$\frac{{U}^{2}}{\frac{{U}^{2}t（{Q}_{1}+{Q}_{2}）}{{Q}_{1}{Q}_{2}}}$t=$\frac{{Q}_{1}{Q}_{2}}{{Q}_{1}+{Q}_{2}}$．

點評 本題考查了串聯電路的電阻特點和并聯電路的電壓特點以及焦耳定律的理解和掌握，靈活運用焦耳定律Q=I²Rt及其導出式Q=$\frac{{U}^{2}}{R}$t是本題正確解題的關鍵．