Question

某工廠設計了一個蓄水池，如圖所示，水源A罐的液面高度h₁=3m，且保持不變．罐底有一個小出水口，面積為S₁，S₁=0.1m²．孔下通過一個截面積為S₂活塞與杠桿BC相連，S₂=0.24m²．杠桿可繞B端上下轉動，另一端有一個中空的圓柱體浮子，橫截面積為S₃，S₃=0.8m²，BO是杠桿總長．原設計打算當杠桿水平時，浮子浸入水深為h₂，h₂=0.7m，活塞恰好能賭住出水口，但在使用時發現，活塞離出水口尚有一小段距離時，浮子便不再上浮，此時浮子浸入水深為h₃，h₃=1m，為了使活塞自動堵住出水口，只得將浮子的質量減去一部分，設減去的質量為m′．（g取10N/kg，杠桿水平時，認為BO仍是杠桿總長，活塞及連桿和杠桿的質量均不計，杠桿所受浮力不計，浮子浸入水中體積變化引起的蓄水池液面變化忽略不計．）試求
（1）活塞應上升的高度是多少；
（2）浮子應減去質量m′是多少．

Answer 1

【答案】分析：（1）活塞上升的高度即為O點上升的距離．杠桿由原來的位置到水平位置，浮子進入水中的深度由現在的深度h3上升到設計的h2，同時O點上升到D點．通過兩次位置的變化，得到一對相似三角形，利用相似形的對應邊成比例可以求得OD的長度，即活塞上升的高度．
（2）以傾斜的杠桿為研究對象，分析出對杠桿的向上的作用力和對杠桿向下的作用力，并分別表示出來，利用杠桿的平衡條件將其聯系在一起，求得浮子原來的重力．
以水平的杠桿為研究對象，分析出此時對杠桿的向上的作用力和對杠桿向下的作用力，并分別表示出來，利用杠桿的平衡條件將其聯系在一起，求得浮子現在的重力．
兩次重力之差即為減去的浮子的重力，從而得到減去的浮子的質量．
解答：解：設浮子原來重力為G，杠桿長為l．浮子減重后，重為G′，由傾斜變為水平，如圖所示，杠桿C端上升高度為EC=h₃-h₂=0.3m，活塞上升的高度△h即為OD的長度．
    
根據數學知識，三角形BDO相似于三角形BEC，
所以：==
因為BO是杠桿總長，
所以：===，
因為EC=0.3m，所以OD=0.1m，即活塞上升高度DO段長為△h=0.1m．        
（2）活塞減重前，杠桿平衡時，支點為B，
以浮子為研究對象，C端受到的合力為F_浮-G=（S₃h₃ρ_水g-G），該力的力臂BE，
O點受到的力為F_壓=ρ_水gS₂（h₁+△h），該力的力臂設為BD，
根據杠桿平衡條件可得：（F_浮-G）BE=F_壓BD，即：
（S₃h₃ρ_水g-G）BE=ρ_水gS₂（h₁+△h）BD，=，
即：3（S₃h₃ρ_水g-G）=ρ_水gS₂（h₁+△h），
代入數據得：3（0.8m²×1m×10³kg/m³×10N/kg-G）=10³kg/m³×10N/kg×0.24m²（3m+0.1m），
解得：G=5520N．
浮子減重后，杠桿平衡時，以杠桿為研究對象，進行受力分析：

C端受到的合力為
F′_浮-G′=S₃h₂ρ_水g-G′，此力的力臂為BC，
O點受到的力為F´_壓=ρ_水gS₁h₁，此力的力臂為BO．
根據杠桿平衡有：（S₃h₂ρ_水g-G′）BC=ρ_水gS₁h₁ BO，
即為：3〔S₃h₂ρ_水g-G′〕=ρ_水gS₁h₁，
代入數據得：3（0.8m²×0.7m×10³kg/m³×10N/kg-G′）=10³kg/m³×10N/kg×0.1m²×3m．
解得：G′=4600N．
減去的浮子的重力：△G=G-G′=5520N-46OON=920N，
減去的浮子的質量：△m===92kg．
答：（1）活塞應上升的高度是0.1m；
（2）浮子應減去質量m′是92kg．
點評：以杠桿的平衡條件為橋梁，將浮子受到的重力，浮力以及水池內水對活塞的壓力聯系起來，得到關于這幾個力的方程，然后利用阿基米德原理將浮子受到的浮力表示出來，利用液體壓強的特點和壓力的計算公式將水對活塞的壓力表示出來，即可求出浮子的重力．從而可以求得浮子減去的質量．
對浮子和活塞進行受力分析是解決此題的關鍵．