Question

（2013?楊浦區三模）如圖所示，甲乙兩薄壁柱形容器放在水平桌面上，它們的高度均為0.5米，底面積分別為1×10^-2米²和2×10^-2米²，容器中分別盛有質量相同的A、B兩種液體，且兩液面到容器底的距離都是0.1米．已知B液體的密度為0.8×10³千克/米³．求：
（1）B液體的質量？
（2）若在A、B兩液體中分別浸沒甲球和乙球，使液體對容器底部的壓強相等，請計算甲乙兩球的體積之間須滿足的關系及它們的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）已知B液體的深度和容器的底面積，可求B液體的體積，再利用公式m=ρV可求B液體的質量．
（2）求出A液體的體積，知道兩液體的質量相同，可求A液體的密度，將甲球和乙球分別浸沒在A、B兩液體中，求出AB液體的深度，利用p=ρgh求AB液體對容器底的壓強，而液體對容器底部的壓強相等，據此得出甲球和乙球的體積關系；
根據容器高度和原來液體深度，可求兩個容器增大的最大體積，即兩球的最大體積，根據甲球和乙球的體積關系確定兩球體積的取值范圍．

解答：解：
（1）B液體的體積：
V_B=S_乙h=2×10^-2m²×0.1m=2×10^-3m³，
∵ρ=

m

V

，
∴B液體的質量：
m_B=ρ_BV_B=0.8×10³kg/m³×2×10^-3m³=1.6kg，
（2）A液體的體積：
V_A=S_甲h=1×10^-2m²×0.1m=1×10^-3m³，
∵m_A=m_B=1.6kg，
∴ρ_A=

mA

VA

=

1.6kg

1×10-3m3

=1.6×10³kg/m³，
設甲球和乙球體積分別為V_甲、V_乙，
將甲球和乙球分別浸沒在A、B兩液體中，
A液體的深度：
h_A=

VA+V甲

SA

=

1×10-3m3+V甲

1×10-2m2

，
A液體對容器底的壓強：
p_A=ρ_Agh_A=1.6×10³kg/m³×10N/kg×

1×10-3m3+V甲

1×10-2m2

，
B液體的深度：
h_B=

VB+V乙

SB

=

2×10-3m3+V乙

2×10-2m2

，
B液體對容器底的壓強：
p_B=ρ_Bgh_B=0.8×10³kg/m³×10N/kg×

2×10-3m3+V乙

2×10-2m2

，
使液體對容器底部的壓強相等，p_A=p_B，
即：1.6×10³kg/m³×10N/kg×

1×10-3m3+V甲

1×10-2m2

=0.8×10³kg/m³×10N/kg×

2×10-3m3+V乙

2×10-2m2

，
∴V_乙=4V_甲+2×10^-3m³，
甲球的最大體積：
V_甲最大=S_甲×（0.5m-0.1m）=1×10^-2m²×0.4m=4×10^-3m³，
乙球的最大體積：
V_乙最大=S_乙×（0.5m-0.1m）=2×10^-2m²×0.4m=8×10^-3m³，
∴V_乙＜8×10^-3m³，
V_甲=

V乙-2×10-3m3

4

＜

8×10-3m-3 -2×10-3m3

4

=1.5×10^-3m³．
答：（1）B液體的質量為1.6kg；
（2）甲乙兩球的體積之間須滿足的關系為V_乙=4V_甲+2×10^-3m³，它們的取值范圍V_甲＜1.5×10^-3m³、V_乙＜8×10^-3m³．

點評：本題考查了學生對密度公式、液體壓強公式的掌握和運用，利用液體對容器底部的壓強相等得出甲球和乙球的體積關系是本題的關鍵．