Question

1．某同學將一個空心金屬球放入一個足夠大的盛滿水的容器中，當球靜止時，露出水面的體積是總體積的$\frac{1}{3}$；若將球的空心部分注入體積為V₀的水時，球恰好懸浮在水中，球內水的體積是球空心部分體積的$\frac{2}{5}$；將球的空心部分注滿水，球沉入容器底．已知水的密度為ρ₀．求：
（1）金屬的密度；
（2）球注滿水沉底時，容器底對金屬球的支持力．

Answer 1

分析 由小球幾次注水時在水中的狀態不同，分別由浮沉條件可以得出公式，聯立可解得壓力和小球的密度．

解答 解：
設空心球的總體積為V，其實心部分的體積為V_實，金屬的密度為ρ，
當空心球漂浮時，露出水面的體積是它體積的$\frac{1}{3}$，
由漂浮條件可得：F_浮=G，
結合阿基米德原理和重力公式可得：ρ_水g$\frac{2}{3}$V=ρgV_實-------①
將球的空心部分注入V₀的水時，球恰好懸浮在水中，
所以有F_浮′=G_總，
即ρ_水gV=ρgV_實+ρ_水gV₀--------②
由題可知，V₀=$\frac{2}{5}$V_空=$\frac{2}{5}$（V-V_實）--------③
②式-①式，整理可得V₀=$\frac{1}{3}$V-------④，
把④代入③解得：V_實=$\frac{1}{6}$V，即V=6V_實------⑤；
將⑤代入①式，解得：ρ=4ρ_水；
由④⑤可得V_實=$\frac{1}{2}$V₀-------⑥
當將球的空心部分注滿水沉入容器底時，設容器對球的支持力為N，
則有F_浮′+N=G_總′，
即ρ_水gV+N=ρgV_實+ρ_水g（V-V_實）------⑦；
將V=6V_實代入⑦得，ρ_水g6V_實+N=ρgV_實+ρ_水g（6V_實-V_實）；
則N=ρgV_實+ρ_水g（6V_實-V_實）-ρ_水g6V_實
=ρgV_實-ρ_水gV_實
=4ρ_水gV_實-ρ_水gV_實
=3ρ_水gV_實
=3ρ_水g×$\frac{1}{2}$V₀
=1.5ρ_水gV₀．
答：（1）金屬的密度是4ρ_水；
（2）球注滿水沉底時，容器底對金屬球的支持力1.5ρ_水gV₀．

點評 本題告訴了三種受浮力的情況，故可通過方程組的形式求解．