Question

（2012?平谷區一模）如圖甲，輕質杠桿AB能繞固定點O在豎直平面內轉動，水平地面上的配重N通過細繩豎直拉著杠桿B端，使用過程中杠桿始終在水平位置平衡．已知AO：OB=2：5．當圓柱形物體M浸沒在水面以下勻速上升時，作用在繩子自由端的拉力為F₁，配重N對地面的壓強為P₁，滑輪組的機械效率為η₁；當物體M的上表面露出水面20cm時，作用在繩子自由端的拉力為F₂，配重N地面的壓強為P₂，滑輪組的機械效率為η₂；當物體M全部露出水面后勻速上升時，作用在繩子自由端的拉力為F₃，配重N對地面的壓強為P₃，滑輪組的機械效率為η₃；已知滑輪組中大小兩種滑輪的質量之比為9：2，配重N的質量為64.8kg，物體M的底面積為600cm²，物體M的質量與體積的關系的圖象如圖乙所示，若F₁：F₂=5：6，P₁：P₃=6：5，（不計水的阻力、繩重和摩擦，g取10N/kg）．
求：
（1）當滑輪組的機械效率為88%時，物體M受到的浮力；
（2）出水后如果物體M以0.1m/s的速度勻速上升，小明作用在繩子自由端拉力F₃的功率．

Answer 1

分析：（1）①對三種情況進行受力分析：當物體M浸沒在水面以下勻速上升時，當物體M的上表面露出水面20cm時，當物體M全部露出水面以后勻速上升時；
②求出配重N的重力和M的密度，以及物體的上表面露出20cm后，物體露出水面的體積；進而求出物體減小的浮力，

F1

F2

=

5

6

得出關于G動大和物體M的體積V的方程；
③在圖甲和丙中根據杠桿平衡條件可得F_A1×OA=F_B1×OB，而F_B1′=F_B1=F_A1×

2

5

=（2_F1+G_動小）×

2

5

=（2F₁+

2

9

G_動大）×

2

5

，F_B3′=F_B3=F_A3×

2

5

=（2_F3+G_動小）×

2

5

=（2F₃+

2

9

G_動大）×

2

5

，根據

P1

P3

=

F壓1

F壓3

=

N1

N3

=

GN-FB1′

GN- FB3′

=

6

5

，得出關于G動大和物體M的體積V的方程；聯立方程組解得V和G_動大的大小；
④利用效率公式η₄=

W有用

W總

=

(GM+F浮3)h

(GM-F浮3+G動大)h

求物體M受到的浮力；
（2）知道物體移動的速度，求出繩子自由端移動的速度，再求出此時拉力大小，利用P=Fv求作用在繩子自由端拉力的功率．

解答：解：
（1）①當物體M浸沒在水面以下勻速上升時，對大動滑輪和物體M、杠桿及配重N平衡狀態下的受力分析如圖甲所示．
當物體M的上表面露出水面20cm時，對大動滑輪和物體M、杠桿及配重N平衡狀態下的受力分析如圖乙所示．
當物體M全部露出水面以后勻速上升時，對大動滑輪和物體M、杠桿及配重N平衡狀態下的受力分析如圖丙所示．

②G_N=m_Ng=64.8kg×10N/kg=648N
ρ_M=2.7×10³kg/m³，G_動小=

2

9

G_動大，
物體的上表面露出20cm后，物體露出水面的體積是：
V_露=0.06m²×0.2m=0.012m³
物體減小的浮力是：
△F_浮=ρ_水gV_露=1.0×10³kg/m³×0.012m³×10N/kg=120N，
F_浮2=F_浮1-△F_浮，即：F_浮2=F_浮1-120N，

F1

F2

=

1 3 (GM+G動大-F浮1)

1 3 (GM+G動大-F浮2)

=

1 3 (GM+G動大-F浮1)

1 3 (GM+G動大-F浮1+120N)

=

GM+G動大-F浮1

GM+G動大-F浮1+120N

=

ρMgV-ρ水gV+G動大

ρMgV-ρ水gV+G動大+120N

=

(ρM-ρ水)gV+G動大

(ρM-ρ水)gV+G動大+120N

=

(2.7×103kg/m3-1.0×103kg/m3)×10N/kg×V+ G動大

(2.7×103kg/m3-1.0×103kg/m3)×10N/kg×V+G動大+120N

=

5

6

；---------①
③在圖甲和丙中根據題意可知：
F_A1×OA=F_B1×OB
F_A1×2=F_B1×5
F_B1′=F_B1=F_A1×

2

5

=（2_F1+G_動小）×

2

5

=（2F₁+

2

9

G_動大）×

2

5

，
F_B3′=F_B3=F_A3×

2

5

=（2_F3+G_動小）×

2

5

=（2F₃+

2

9

G_動大）×

2

5

，

P1

P3

=

F壓1

F壓3

=

N1

N3

=

GN-FB1′

GN- FB3′

=

648N -FB1′

648N -FB3′

=

648N -(2F1+ 2 9 G動大) × 2 5

648N-(2F3+ 2 9 G動大) × 2 5

=

648N -(2F1+ 2 9 G動大 )

648N-(2F3+ 2 9 G動大 )

=

6

5

，
將F₁=

1

3

（G_M+G_動大-F_浮1）和F₃=

1

3

（G_M+G_動大）代入上式：

648N -(2[ 1 3 (GM+G動大-F浮1)]+ 2 9 G動大 )

648N-(2[ 1 3 GM+G動大] +  2 9 G動大 )

=

648N -(2[ 1 3 (ρMgV +G動大-ρ水gV )]+ 2 9 G動大 )

648N-(2[ 1 3 ρ水gV+ G動大] + 2 9 G動大 )

=

648N -(2[ 1 3 (2.7×103kg/m3×10N/kg×V  +G動大-1.0×103kg/m3×10N/kg×V  )]+ 2 9 G動大 )

648N-(2[ 1 3 2.7×103kg/m3×10N/kg×V+ G動大] + 2 9 G動大 )

=

6

5

，---------------------②
解①②得：
V=0.03m³，G_動大=90N，
η₄=

W有用

W總

=

(GM-F浮3)h

(GM-F浮3+G動大)h

=88%，
把G_動大=90N、G_M=810N代入解得：F_浮3=150N；
（2）∵物體移動的速度是0.1m/s，
∴繩子自由端移動的速度：
v=3×0.1m/s=0.3m/s，
F₃=

1

3

（G_M+G_動大）=

1

3

（810N+90N）=300N，
P=F₃v=300N×0.3m/s=90W．
答：（1）當滑輪組的機械效率為88%時，物體M受到的浮力為150N；
（2）出水后如果物體M以0.1m/s的速度勻速上升，小明作用在繩子自由端拉力F₃的功率為90W．

點評：本題為力學綜合題，考查了學生對重力公式、密度公式、阿基米德原理、杠桿平衡條件、效率公式的掌握和運用，知識點多、綜合性強，要求靈活運用所學知識求解．