Question

19．如圖所示，放在水平地面上的薄壁圓柱形容器A、B，底面積分別為4×10^-2米²、6×10^-2米²，高均為0.5米．A中盛有6.4千克的酒精（已知ρ_酒=0.8×10³千克/米³）、B中有一底面積為3×10^-2米²、高為0.25米、質量為15千克的實心金屬塊甲，同時盛有水，水深0.12米．求：
①甲的密度；
②酒精對容器底的壓強；
③若再向兩容器中分別倒入體積相同的酒精和水，是否有可能使液體對容器底的壓強相同．若有可能請求出體積值，若不可能請通過計算說明．

Answer 1

分析 （1）已知實心金屬塊甲底面積和高度，求出其體積，利用ρ=$\frac{m}{V}$即可求出金屬塊甲的密度；
（2）已知酒精的質量，求出酒精的重力，由于是柱狀容器，酒精產生的壓力與酒精的重力相等，則可利用p=$\frac{F}{S}$求酒精產生的壓強；
（3）已知酒精的質量和密度可求酒精的體積，根據A容器的底面積求出酒精的深度，
若再向兩容器中分別倒入體積相同的酒精和水，則根據h=$\frac{V}{S}$求出酒精和水再增加的深度，根據產生的壓強相等即可求出需要倒入酒精和水的體積，最后即可做出判斷．

解答 解：①金屬塊甲的體積V_甲=S_甲h_甲=3×10^-2m²×0.25m=7.5×10^-3m³，
則ρ_甲=$\frac{{m}_{甲}}{{V}_{甲}}$=$\frac{15kg}{7.5×1{0}^{-3}{m}^{3}}$=2×10³kg/m³．
②由于容器A是放在水平地面上的薄壁圓柱形容器，則F_酒=G_酒=m_酒g=6.4kg×9.8N/kg=92.72N，
則p_酒=$\frac{{F}_{酒}}{{S}_{A}}$=$\frac{62.72N}{4×1{0}^{-2}{m}^{2}}$=1568Pa；
③容器A中原來酒精的深度為h_酒=$\frac{{V}_{酒}}{{S}_{A}}$=$\frac{{m}_{酒}}{{ρ}_{酒}{S}_{A}}$=$\frac{6.4kg}{0.8×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×4×1{0}^{-2}{m}^{2}}$=0.2m，
容器B中原來水的深度為h_水=0.12m，
若再向兩容器中分別倒入體積相同的酒精和水，使液體對容器底的壓強相同，
則：p_水′=p_酒′，
即：ρ_水gh_水′=ρ_酒精gh_酒′，
所以，ρ_水g（h_水+$\frac{V}{{S}_{B}-{S}_{甲}}$）=ρ_酒精g（h_酒+$\frac{V}{{S}_{A}}$），
即：1.0×10³kg/m³×（0.12m+$\frac{V}{3×1{0}^{-2}{m}^{2}}$）=0.8×10³kg/m³×（0.2m+$\frac{V}{4×1{0}^{-2}{m}^{2}}$），
解得：V=3×10^-3m³，
此時由于h_水′=0.12m+$\frac{3×1{0}^{-3}{m}^{3}}{3×1{0}^{-2}{m}^{2}}$=0.22m＜0.25m=h_金屬，
所以，可以成立．
若再向兩容器中分別倒入體積相同的酒精和水，水的液面若超過金屬塊的高度，
則倒入水后水的深度為h_水″=h_金屬+$\frac{V-（{h}_{金屬}-{h}_{水}）×（{S}_{B}-{S}_{金屬}）}{{S}_{B}}$，
由于p_水″=p_酒″，
即：ρ_水gh_水″=ρ_酒精gh_酒″，
所以，ρ_水g（h_金屬+$\frac{V-（{h}_{金屬}-{h}_{水}）×（{S}_{B}-{S}_{金屬}）}{{S}_{B}}$=ρ_酒精g（h_酒精+$\frac{V}{{S}_{A}}$），
即：1.0×10³kg/m³×（0.25m+$\frac{V-（0.25m-0.12m）×（6×1{0}^{-2}{m}^{2}-3×1{0}^{-2}{m}^{2}）}{6×1{0}^{-2}{m}^{2}}$）=0.8×10³kg/m³×（0.2m+$\frac{V}{4×1{0}^{-2}{m}^{2}}$），
解得：V=7.5×10^-3m³，
而h_酒+$\frac{V}{{S}_{A}}$=0.2m+$\frac{7.5×1{0}^{-3}{m}^{3}}{4×1{0}^{-2}{m}^{2}}$=0.3875m＜0.5m，
h_金屬+$\frac{V-（{h}_{金屬}-{h}_{水}）×（{S}_{B}-{S}_{金屬}）}{{S}_{B}}$=0.25m+$\frac{7.5×1{0}^{-3}{m}^{3}-（0.25m-0.12m）（6×1{0}^{-2}{m}^{2}-3×1{0}^{-2}{m}^{2}）}{6×1{0}^{-2}{m}^{2}}$=0.31m＜0.5m，
水和酒精不會溢出，所以，可以成立．
答：①甲的密度為2×10³kg/m³；
②酒精對容器底的壓強為1568Pa；
③有可能．再向兩容器中分別倒入酒精和水的體積為3×10^-3m³、7.5×10^-3m³．

點評 本題考查液體壓強和密度公式的應用，難點是若再向兩容器中分別倒入體積相同的酒精和水，酒精和水深度的計算，最后注意判斷時水的深度變化時根據容器B與金屬塊的面積之差分析的，所以關鍵是注意最后得出水的深度與金屬塊的高度比較一下．