Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，a_n與S_n滿足a_n+S_n=2（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=S_n+λS_n+1（n∈N^*），求使數列{b_n}為等比數列的所有實數λ的值．

Answer 1

分析：（1）由題設條件知a₁=1，2a_n+1-a_n=0，n∈N⁺，所以

an+1

an

=

1

2

，由此能求出數列{a_n}的通項公式；
（2）由Sn=2-

1

2n-1

，知bn=Sn+λ Sn-1=2+2λ-(λ+2)•

1

2n

，n∈N+，由此能推出使數列{b_n}為等比數列的所有實數λ的值．

解答：解：（1）令n=1，有2a₁=2?a₁=1，

an+1+Sn+1=2 an+sn=2

?2a_n+1-a_n=0，n∈N⁺，∴

an+1

an

=

1

2

，
∴a_n是以1為首項，

1

2

為公比的等比數列，∴an=

1

2n-1

．

（2）由（1）知Sn=2-

1

2n-1

，
∴bn=Sn+λ Sn-1=2+2λ-(λ+2)•

1

2n

，n∈N+，
b1=

2+3λ

2

，b2=

6+7λ

4

，b3=

14+15λ

8

．
∵b_n為等比數列，∴b₂²=b₁•b₃，解得λ=-1或λ=-2．
當λ=-1時，bn=-

1

2n

，{b_n}為等比數列；
當λ=-1時，b_n=-2，{b_n}為等比數列；
綜上，使數列{b_n}為等比數列的所有實數λ的值為一1或-2．

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，注意公式的靈活運用．