Question

如圖所示，輕質杠桿AD用兩根軟繩懸掛于天花板上，兩繩分別系在杠桿上的B、C兩點．已知杠桿的長度為0.8m，BC間的距離為0.2m，CD間的距離為0.2m．用細繩將滑輪組固定在杠桿的A端，物體E（其質量可變）掛在動滑輪的掛鉤上，每個滑輪重均為60N．物體H通過細繩掛在杠桿的D端，其質量始終保持不變．為使杠桿AD保持水平平衡，滑輪組所能提升重物E的最大質量m₁與最小質量m₂之比為4：1．杠桿、細繩的質量及一切摩擦均可忽略不計，取g=10N/kg．求：
（1）滑輪組對杠桿A端的最大拉力F_A1與最小拉力F_A2之比；
（2）重物E的最大質量m₁；
（3）滑輪組的最小機械效率．（百分號前保留整數）

Answer 1

分析：（1）以B點為支點時，滑輪組對杠桿A端有最大拉力；以C點為支點時，滑輪組對杠桿A端有最小拉力，已知AB、AC、BD的長度，根據杠桿的平衡條件可求滑輪組對杠桿A端的最大拉力F_A1與最小拉力F_A2之比；
（2）以定滑輪為研究對象，受力分析；以兩個動滑輪和物體E整體為研究對象進行受力分析，得出方程，代入數據即可解答；
（3）根據公式η=

W有用

W總

=

Gh

(G+G動)h

=

G

(G+G動)

可知，提升物體的重力越大，滑輪組的機械效率越高，提升物體的重力越小，滑輪組的機械效率越低．

解答：解：（1）以B點為支點時，滑輪組對杠桿A端有最大拉力F_A1；以C點為支點時，滑輪組對杠桿A端有最小拉力F_A2；
由圖中距離關系可知：AB=0.4m，AC=0.6m，BD=0.4m
根據杠桿平衡條件：
    F_A1×AB=G_H×BD；①
    F_A2×AC=G_H×CD；②
①：②得出：F_A1：F_A2=3：1；
（2）以定滑輪為研究對象，滑輪組對杠桿A端的最大拉力F_A1與等于定滑輪的重力與3段繩子所產生的拉力3F₁之和； 即F_A1=3F₁+G_定 ；①
最小拉力F_A2等于定滑輪的重力與3段繩子所產生的拉力3F₂之和；  即F_A2=3F₂+G_定；②
以兩個動滑輪和物體E整體為研究對象，受力分析；物體的最大重力為G₁；得到方程4F₁=G₁+2G_動；整理可得
GG₁=4F₁-2G_動；③
物體的最小重力為G₂；得到方程4F₂=G₂+2G_動；整理可得G₂=4F₂-2G_動；④
因為F_A1：F_A2=3：1=（3F₁+G_定）：（3F₂+G_定）
所以

3F1+60N

3F2+60N

=

3

1

；
解得：F₁=3F₂+40N；⑤
因為m₁：m₂=4：1，所以G₁：G₂=m₁：m₂=4：1；

G1

G2

=

4F1-2×60N

4F2-2×60N

=

4

1

；⑥
解得：F₂=130N；F₁=430N；
G₁=1600N；
所以重物E的最大質量mm₁=

G1

g

=

1600N

10N/kg

=160kg；
（3）因為G₁：G₂=4：1，所以G₂=

G1

4

=

1600N

4

=400N；
滑輪組的機械效率最小時，提升的物體的重力最小，最小重力為400N；
最小機械效率η=

W有用

W總

=

G2h

(G2+2G動)h

=

G2

(G2+2G動)

=

400N

400N+2×60N

×100%≈77%．
答：（1）滑輪組對杠桿A端的最大拉力F_A1與最小拉力F_A2之比為3：1；
（2）重物E的最大質量m₁為160kg；
（3）滑輪組的最小機械效率為77%．

點評：本題考查拉力、質量、機械效率的計算，關鍵是杠桿平衡條件的應用，難點是對物體進行受力分析和機械效率變形公式的推導，是一道難題，解題過程中一定要細心，不然一步做錯，后面的就會全部做錯．