Question

20．一個豎直放置在水平桌面上的圓柱形容器，內裝密度為ρ的液體．將掛在彈簧測力計下的金屬塊A浸沒在該液體中（A與容器底和容器側壁未接觸），金屬塊A靜止時，彈簧測力計的示數為F．將木塊B放入該液體中，靜止后木塊B露出液面的體積與其總體積之比為7：12．把金屬塊A放在木塊B上面，木塊B剛好沒入液體中（如圖所示）．（　　）

• A． 若已知金屬塊A的體積為V₀，則A的重力為F+ρgV₀
• B． 木塊B的密度是$\frac{7}{12}ρ$
• C． 若已知金屬塊A的體積與木塊B的體積之比為13：24，則金屬塊A的體積為$\frac{13F}{ρg}$
• D． 若已知金屬塊A的體積與木塊B的體積之比為13：24，則木塊B的重力為10F

Answer 1

分析 （1）金屬塊A浸沒在液體中，排開液體的體積等于其自身體積，根據阿基米德原理求出A所受浮力，然后根據二次稱重法計算A的重力；
（2）將木塊B放入該液體中時漂浮，根據阿基米德原理和密度公式、重力公式得出等式計算B的密度；
（3）知道金屬塊A受到的浮力、木塊B受到的浮力、再求出木塊和金屬塊受到的總浮力，利用物體漂浮條件，結合密度、重力公式聯立求解；
（4）把金屬塊A放在木塊B上面時，A、B漂浮，再根據阿基米德原理和密度公式、重力公式得出等式結合兩者的體積關系求出物體A的密度和液體密度之間的關系，利用稱重法表示出物體A浸沒在該液體中時的浮力即可求出金屬塊A的密度；再由阿基米德原理、密度公式計算B的重力．

解答 解：A、金屬塊A掛在彈簧測力計下并浸沒在該液體中靜止時，彈簧測力計的示數為F，
根據稱重法可得：F_浮A=G_A-F，
金屬塊A浸沒，則排開水的體積V_A排=V₀，
則F_浮A=ρgV_A排=ρgV₀，
所以，A的重力為G_A=F+F_浮A=F+ρgV₀；故A正確；
B、將木塊B放入該液體中時漂浮，
由F_浮=ρgV_排和ρ=$\frac{m}{ρ}$、G=mg可得：
F_浮=G_木，即ρgV_B（1-$\frac{7}{12}$）=ρ_BV_Bg
解得：ρ_B=$\frac{5}{12}$ρ，故B錯誤；
C、由A知，F_浮A=G_A-F-------①
由B知，F_浮B=G_B=ρgV_B排=$\frac{5}{12}$ρV_Bg-------②
把金屬塊A放在木塊B上，仍漂浮，F_浮總=G_A+G_B，
即ρV_排總g=ρV_Bg=G_A+G_B-------③
①②③結合得出：
ρV_Bg=F+ρV₀g+$\frac{5}{12}$ρV_Bg，
即：$\frac{7}{12}$ρV_Bg=F+ρV₀g；
又知，V₀：V_B=13：24，
所以，$\frac{7}{12}$ρ×$\frac{24}{13}$V₀g=F+ρV₀g，
則金屬塊A的體積為V₀=$\frac{13F}{ρg}$．故C正確；
D、把金屬塊A放在木塊B上面時，A、B漂浮，則F_浮總=G_A+G_B，
即ρgV_B=ρ_AV₀g+ρ_BV_Bg=ρ_AV₀g+$\frac{5}{12}$ρV_Bg，
整理可得：ρV_B=ρ_AV₀+$\frac{5}{12}$ρV_B，
已知：V₀：V_B=13：24，
所以ρV_B=ρ_A×$\frac{13}{24}$V_B+$\frac{5}{12}$ρV_B，
解得：ρ=$\frac{13}{14}$ρ_A，
金屬塊A掛在彈簧測力計下并浸沒在該液體中靜止時，彈簧測力計的示數為F，
根據稱重法可得：F_浮A=G_A-F，
結合阿基米德原理有：F_浮A=ρgV₀=$\frac{13}{14}$ρ_A×gV₀=ρ_AV₀g-F，
解得：ρ_A=$\frac{14F}{{V}_{0}g}$．
則ρ=$\frac{13}{14}$ρ_A=$\frac{13}{14}$×$\frac{14F}{{V}_{0}g}$=$\frac{13F}{{V}_{0}g}$．
木塊漂浮時：G_B=F_浮B=ρgV_B（1-$\frac{7}{12}$）=$\frac{13F}{{V}_{0}g}$×g×$\frac{24}{13}$V₀×（1-$\frac{7}{12}$）=10F，故D正確．
故選ACD．

點評 此題考查物體浮沉條件、阿基米德原理，涉及到重力、密度、液體壓強公式的應用，是一道力學綜合題，有一定的難度，關鍵是各種公式的靈活應用．