Question

【題目】如圖所示，輕質桿可繞O點轉動。分別將質量相同的純金塊、純銀塊、金銀制作的王冠懸掛于桿的最左端并浸沒水中，將質量與王冠相同的重物對應地懸掛在桿上的A、B、C處（圖中未標出），桿恰好在水平位置平衡。測得A、C兩點間的距離為7cm，B、C兩點間的距離為3cm。則王冠中金和銀的質量比為（　　）

A. 3：7 B. 7：3 C. 2：5 D. 5：2

Answer 1

【答案】A

【解析】

先利用V＝ 判斷三者體積關系，根據阿基米德原理和杠桿平衡條件可得出重物對應地懸掛在桿上的A、B、C的位置，然后分別列出三者懸掛于桿的最左端并浸沒水中時的等量關系式，結合數學知識將這三個方程進行整理即可得出王冠中金和銀的質量之比。

設純金塊、純銀塊、金銀制作的王冠以及重物的質量為m，

純金塊、純銀塊、金銀制作的王冠的密度分別為ρ1、ρ2、ρ3，體積分別為V1、V2、V3，

由于ρ1＞ρ3＞ρ2，根據V＝ 可知，三者的體積關系：V1＜V3＜V2，

浸沒在水中時，三者排開水的體積與各自的體積相等，

根據F浮＝ρ水gV排可知，三者的浮力關系：F浮1＜F浮3＜F浮2，

當質量相同（重力相同）的純金塊、純銀塊、金銀制作的王冠懸掛于桿的最左端并分別浸沒水中時，桿的最左端受到的拉力：F拉＝G﹣F浮，由于F浮1＜F浮3＜F浮2，則F拉1＞F拉3＞F拉2，且左邊拉力的力臂相同，

根據杠桿平衡條件可知，相同的重物對應地懸掛在桿上的A、B、C處，如下圖所示：

根據阿基米德原理和杠桿平衡條件得，當純金塊懸掛于桿的最左端并浸沒水中時有：

（mg﹣ρ水gV1）LOD＝mg（LOB+LBC+LAC）﹣﹣﹣﹣﹣①

當純銀塊懸掛于桿的最左端并浸沒水中時有：

（mg﹣ρ水gV2）LOD＝mgLOB ﹣﹣﹣﹣﹣﹣②

當金銀制作的王冠懸掛于桿的最左端并浸沒水中時有：

（mg﹣ρ水gV3）LOD＝mg（LOB+LBC）﹣﹣﹣﹣﹣﹣③

用①﹣②得，（ρ水gV2﹣ρ水gV1）LOD＝mg（LBC+LAC）﹣﹣﹣﹣﹣﹣④

用③﹣②得，（ρ水gV2﹣ρ水gV3）LOD＝mgLBC﹣﹣﹣﹣﹣﹣⑤

用④÷⑤得， ＝ ＝ ＝ ，

化簡整理得，10V3﹣3V1﹣7V2＝0﹣﹣﹣﹣﹣⑥

設王冠中金和銀的質量分別為m1、m2，

則王冠的體積：V3＝ + ﹣﹣﹣﹣﹣⑦

純金塊的體積：V1＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣⑧

純銀快的體積：V2＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣⑨

將⑦⑧⑨代入⑥整理得，+＝0，

由于ρ1＞ρ2＞0，所以，10m1﹣3m＝0；10m2﹣7m＝0；

解得：m1＝m；m2＝m；

則王冠中金和銀的質量之比：

m1：m2＝m：m＝3：7。

故選：A。