Question

如圖所示，某橋梁工程部門在一次工程作業中，利用汽車將重為G，高為h₀的柱形實心鐵塊，從水深為h₁的河底豎直打撈上來．汽車速度為υ，且保持恒定．水的密度為ρ₀，鐵的密度為ρ₁．不計滑輪的摩擦和繩重，不考慮水的阻力和物體排開水的體積對水面高度的影響．請完成下列有關分析和計算．
（1）鐵塊上升過程中所受浮力的最大值；
（2）推導出自鐵塊上表面與水面相平升至整體剛露出水面的過程中，繩子的拉力隨時間變化的關系式（從鐵塊上表面與水面相平時開始計時）
（3）在圖中，定性畫出鐵塊自河底升至滑輪處的過程中，繩子拉力的功率P隨鐵塊上升高度h變化關系的圖象．

Answer 1

解：（1）當鐵塊浸沒水中時，受到水的浮力最大，
∵G=ρ₁v_鐵g，
鐵塊的體積：
v_鐵=，
當鐵塊浸沒水中，排開水的體積：
v_排=v_鐵=，
此時受到水的浮力：
F_浮=ρ₀v_排g=ρ₀g=G；
（2）從鐵塊上表面與水面相平時開始計時，在時間為t時，
鐵塊上升的高度（露出的高度）：
△h=vt，
排開水的體積：
v_排′=×，
此時受到水的浮力：
F_浮′=ρ₀v_排′g=ρ₀×g=×；
繩子的拉力：
F′=G-F_浮′
=G-×
=G-+t；
（3）鐵塊浸沒在水中，拉力：
F₁=G-F_浮=G-G，
拉力功率：
P₁=F₁v=（G-G）v，
鐵塊從露出水面到全露出，拉力：
F₂=G-F_浮′
=G-×；
=G-+t，
拉力功率：
P₂=F₂v=（G-+t）v=（G-）v+vt，
全露出水面后的拉力大小：
F₃=G，
拉力功率：
P₃=F₃v=Gv，
繩子拉力的功率P隨鐵塊上升高度h變化關系的圖象如右圖所示．
答：（1）鐵塊上升過程中所受浮力的最大值為G；
（2）繩子的拉力隨時間變化的關系式為F=G-+t；
（3）繩子拉力的功率P隨鐵塊上升高度h變化關系的圖象如圖所示．
分析：（1）知道鐵塊的重和鐵的密度，利用密度公式和重力公式求鐵塊的體積；當鐵塊浸沒水中時（排開水的體積等于鐵塊的體積），受到水的浮力最大，利用阿基米德原理求鐵塊上升過程中所受浮力的最大值；
（2）從鐵塊上表面與水面相平時開始計時，在時間為t時，鐵塊上升的高度（露出的高度）△h=vt，浸入的高度h=h₀-△h，可求排開水的體積，利用F=G-F_浮列出表達式；
（3）利用F=G-F_浮求出鐵塊浸沒在水中、露出水面到全露出、全露出水面后的拉力大小，又知道速度大小，利用P===Fv求三過程的拉力功率，再作圖．
點評：本題利用符號表示物理量，推導公式時要細心，用好下標；做好三種情況（鐵塊浸沒在水中、露出水面到全露出、全露出水面后）下的受力分析是本題的關鍵．