Question

一根不均勻的金屬桿長AB =4m，自重為G=4 000 N，放在水平地面上．如圖所示的滑輪組的繩子系在B端，以A端為支點，豎直向上提起它的B端．當人站在水平地面上，豎直向下用力拉繩端，使金屬桿的B端剛離開地面時，人對地面的壓力為F_N1，B端受到豎直向上的拉力為F₁，若勻速略微向上提起金屬桿過程中，滑輪組的繩重、繩的伸長和輪軸間摩擦可以忽略， 滑輪組的機械效率保持不變，為η₁；當把該滑輪組的繩子系在金屬桿的C 點，AC =3 m，仍以A端為點支，勻速略微豎直向上拉起占端，人對地面的壓力為F_N2時，C點受到豎直向上的拉力為F₂，B端恰好離開地面，這時滑輪組的機械效率為η₂。若人的體重為G_人= 700 N且保持不變，F_N1:F_N2= 12：7， η₁：η₂=63： 64
求：
（1）F₁與F₂的比值；
（2）動滑輪重G_動；
（3）金屬桿的重心O距A端的距離

Answer 1

解：以A點為支點，豎直向上拉B點，金屬桿的受力分析如圖甲。F₁為滑輪組豎直向上拉金屬桿的拉力，G為金屬桿所受重力，O點為金屬桿的重心． 根據杠桿平衡條件，得到：
F₁·AB=G·OA                                           ①
以A點為支點，豎直向上拉C點，金屬桿的受力分析如圖乙。
F₂為滑輪組豎直向上拉金屬桿的拉力，
根據杠桿平衡條件，得到：
F₂·AC =G·OA，
所以F₁·AB =F₂·AC，
F₁：F₂=AC：AB=3m：4m，
F₁：F₂ =3：4                                             ②
分析滑輪組。當拉B點時，
F_b=（F₁'+G_動）/4，其中F_b為人的拉力，F₁'為桿拉滑輪組的力，與F₁為相互作用力，F₁'=F₁，G_動為動滑輪重.當滿足題目的條件時，

當拉C點時，F_c=（F₂'+G_動）/4，其中F_c為人的拉力，F₂'為桿拉滑輪組的力，與F₂為相互作用力，F₂'=F₂.
 

             ③
分析人受力．
當拉B點時，人靜止，
F_b'= G_人 - F_N1'，其中G_人為人所受重力，F_b'為滑輪組拉人的力，與F_b為相互作用力，F_b'=F_b；F_N1'為地面對人的支持力，與F_N1為相互作用力， F_N1'= F_N1。
拉C點時，人靜止，
F_c'= G_人-F_N2'其中F_c'為滑輪組拉人的力，與F_c為相互作用力，F_N2'=F_N2；
F_N1:F_N2=（G_人-F_b）：（G_人 -F_c），
所以（700 N -F_b）：（700 N -F_c）=12：7          ④
①②③④四式聯立
[700N - （F₁+G_動）/4] : [700 N - （F₂+G_動）/4] =12 : 7，

F₁: F₂ =3 : 4，
F₁·4 m=4 000 N ·OA，
解出：F₁=1 500 N，G_動= 100 N，OA=1.5 m。