Question

如圖所示，柱形容器底面積為5×10^-2 m²．容器內放有一密度為0.6×10³kg/m³、邊長為0.1m的正方體木塊，用一條質量可忽略不計的細繩，兩端分別系于木塊底部中心和柱形容器的中心．容器內有一定質量的水，水深20cm，此時木塊處于漂浮，細繩剛好拉直，但對木塊沒有拉力．細繩能承受的最大拉力為3N．（g取10N/kg）求：
（1）容器底受到水的壓強；
（2）向容器內緩慢注水（水未溢出），細繩對木塊的拉力剛好達到最大值時，木塊排開水的體積；
（3）在第（2）問中，向容器內注水質量是多少？

Answer 1

分析：（1）根據液體壓強公式P=ρgh計算；
（2）對此時的木塊進行受力分析可知，此時浮力等于木塊的重力加3N的拉力，據此可利用公式計算木塊的排水體積；
（3）根據前兩問的結果可求細繩拉力達到3N時木塊增加的排水體積，進而求出增加的浸沒深度，用容器的底面積減去木塊的底面積，再乘以浸沒深度就是加入水的體積，最后求出這部分水的質量．

解答：解：（1）水對容器底產生的壓強：
P=ρ_水gh=1×10³kg/m³×10N/kg×0.2m=2×10³Pa．  
（2）繩子拉力T最大時為3N，木塊受力平衡
則：F_浮=G+T，
∴ρ_水gV_排=ρ_木gV_木+T，
∴V_排=

ρ木

ρ水

V木+

T

ρ水g

=

ρ木

ρ水

a3 +

T

ρ水g

=

0.6×103kg/m3

1×103kg/m3

×(0.1m)3+

3N

1×103kg/m3×10N/kg

=9×10^-4m³．
（3）∵注水后，木塊排水變化為：
△V_排=

△F浮

ρ水g

=

T

ρ水g

=

3N

1×103kg/m3×10N/kg

=3×10^-4m³，
則木塊增加的浸沒深度為：
△h=

△V排

S木

=

3×10-4m3

(0.1m)2

=3×10^-2m，
所以，注入水的體積：
V=△h（S_底-S_木）=3×10^-2m×（5×10^-2m²-1×10^-2 m²）=1.2×10^-3m³，
則注入水的質量：
m=ρ_水V=1×10³kg/m³×1.2×10^-3m³=1.2kg．
答：（1）容器底受到水的壓強為2×10³Pa；
（2）細繩對木塊的拉力剛好達到最大值時，木塊排開水的體積為9×10^-4m³；
（3）在第（2）問中，向容器內注水質量是1.2kg．

點評：解決此題用到的知識比較多，有漂浮條件、浮力的公式、重力公式、體積公式、壓強公式、密度公式等，靈活運用公式至關重要，但真正的難點還在于對題意的正確分析．