Question

（2012?朝陽區二模）道閘又稱欄桿機、擋車器，是現代停車場管理的智能化高科技產品，主要應用于各類停車場、封閉式管理小區出入口等場所．如圖甲所示的是某停車場安裝的道閘結構示意圖，合金制作的空心欄桿，通過固定裝置安裝在箱體，能繞固定軸O轉動90°，固定軸到箱底的高度為h，箱體固定在地面上．彈簧通過連接鋼絲一端固定在箱體底面，另一端固定在固定裝置上的A點，使用時彈簧保持豎直．可以使欄桿在水平位置和豎直位置間轉動．彈簧自重G_彈簧=30N，鋼絲重忽略不計，固定軸到彈簧的距離是OA=20cm．通過調節連接鋼絲的長度，使彈簧的長度為l₁=80cm，這時欄桿在水平位置平衡．在欄桿的重心位置上安裝了5N重的警示牌，需要調節連接鋼絲長度，改變彈簧的拉力，使欄桿仍然在水平位置平衡．欄桿與固定裝置總重為G_欄桿，重心B點到O點距離為1.2m，若彈簧的長度l與拉力F_拉的關系圖象如圖乙所示．

求：
（1）欄桿和固定裝置總重G_欄桿；
（2）第二次彈簧的長度．

Answer 1

分析：（1）杠桿的平衡條件是 動力×動力臂=阻力×阻力臂，欄桿作為杠桿受力示意圖如下：

所以有等式：F₁?OA=G_欄桿?OB
其中，OA=20cm=0.2m，OB=1.2m，
F₁=F_拉1+G_彈簧，其中G_彈簧=30N，F_拉1通過L₁=80cm時丙圖圖象中看出，即 F_拉1=300N．
把這些數據代入杠桿平衡條件解方程，得出G_欄桿．
（2）根據杠桿的平衡條件F₂?OA=G_欄桿′?OB，G_欄桿增加5N時G_欄桿′=55N+5N=60N
解出F₂，用F₂減去彈簧重力就是第二次彈簧的拉力，
即：F_拉2=F₂-G_彈簧
彈簧的特點是在彈性限度內，彈簧伸長的長度與拉力成正比，即先后兩次彈簧的伸長量與彈簧的拉力成正比，這樣列出方程即可求出第二次彈簧長度．
方程為：（l₂-l₀）：（l₁-l₀）=F_拉2：F_拉1．

解答：解：（1）欄桿繞O點轉動，可以看作杠桿．當杠桿水平平衡時，受力示意圖如下

根據杠桿平衡條件：F₁?OA=G_欄桿?OB
F₁=F_拉1+G_彈簧，從圖丙中可以知道：F_拉1=300N
G_欄桿

(F拉1 +G彈簧)?OA

OB

=

(300N+30N)×0.2m

1.2m

=55N   

（2）欄桿上加了警示牌后G_欄桿′=G_欄桿+G_警示牌=55N+5N=60N     
根據杠桿平衡條件：F₂?OA=G_欄桿′?OB
F₂=

G欄桿′?OB

OA

=

60N×1.2m

0.2m

=360N   
F₂=F_拉2+G_彈簧  F_拉2=F₂-G_彈簧=360N-30N=330N     
設彈簧原長為l₀，由于彈簧伸長的長度與拉力成正比，
所以有等式（l₂-l₀）：（l₁-l₀）=F_拉2：F_拉1
（l₂-50cm）：（80cm-50cm）=330N：300N
解出l₂=83cm．
答：（1）欄桿和固定裝置總重G_欄桿=55N．
（2）第二次彈簧的長度是83cm．

點評：熟練掌握杠桿的平衡條件和彈簧的特點是解答本題的基礎，同時還要具備在所給信息中挑出相關信息列方程的能力．